福州大学：《数理统计学》第二章 分布的上侧a分位数

分布的上侧分位数 正态分布的上侧a分位数 设X~N(0,1),0a)=a的数ua为标准正态分布的上侧a分位数 2.一般定义设随机变量X的密度为f(x),对给定的a(0xa)=f(x dx=a G) a 的数xa为此分布的上侧a分位数 x2(n) xa(n) 3.x2分布的上侧a分位数 P(X>Xa(n))=zmf(x)dx=a x2分布函数的值可通过查表得到

分布的上侧 分位数 1. 正态分布的上侧 分位数 则称 满足等式 P(X >u )= 的数u为标准正态分布的上侧 分位数； 设 X～N(0, 1)， 0 <  < 1 , 称满足等式 的数x为此分布的上侧 分位数 . 2. 一般定义 设随机变量X的密度为f(x) , 对给定的(0<<1), 3.  2 分布的上侧 分位数 ：     =  = + P X x f x dx x ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) , ( ) 2  2      =  = + P X n f x dx n ( ) 2   n  2 分布函数的值可通过查表得到  f(x) O 2 (n) x 

定义4。设X~N(01),0a)=c的数ua为标准正态分布的上侧a分位数; 称满足等式P(X|>la2)=a的数ua2.为标准正态分布的双侧 a分位数;p(x) a/2 /2 a la an o a/2 P(X>ua)=1-P(Xa)=1-(a)=a,→o(a)=1-a 类似可得Φ(umn2)=1-a2 可查表得值 若X~N(u,a2)时,要求满足P(X>x0)=a的x: ①(ua)=1-a→ua no-p =Wo→x0=+a

则称 满足等式 P(X >u )= 的数u为标准正态分布的上侧 分位数； 定义4 设 X～N(0, 1), 0 u )= 1- P(Xu) 称满足等式 P(|X|>u/2 )=的数u/2为标准正态分布的双侧  分位数； (x) O x  u (x) O x / 2 / 2 -u/2 u/2 = 1-(u) =  ，  (u )= 1-  ， 类似可得 (u/2 )= 1- /2 ， 可查表得值 若 X～N( , 2)时，要求满足 P(X>x0 )=  的x0 ： (u)= 1-   u     u x u x =  = + − 0 0

复习 总体一一研究对象的全体,总体中的每个对象称为个体 总体和样、总体可用随机变量X或其分布来描述就是一个概率分布 样本一—按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验 所抽取的部分个体称为样本, 独立性; 样本容量,样本值,简单随机样本 代表性 统计量一一不含任何未知参数、完全由样本决定的样本函数 样本矩顺序统计量将样本值x,…,xn按递增顺序排列x≤…≤x 令随机变量Xk=xk(X1,…,X")为样本X1,…,Xn的顺序统计量 三个常见的统计分布

——按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验 所抽取的部分个体称为样本， 总体和样本 统计量 三个常见的统计分布 复习 总体 样本 —— 研究对象的全体, 总体中的每个对象称为个体 样本矩 总体可用随机变量X 或其分布来描述, 就是一个概率分布 样本容量, 样本值, 简单随机样本 ——不含任何未知参数、完全由样本决定的样本函数 令随机变量 顺序统计量 将样本值x1,…, xn 按递增顺序排列 ( 1 , , )   X  Xn 为样本X1, …, Xn 的顺序统计量.   x1  xn Xk  = xk  ， 独立性; 代表性.      

在同分布条件下大数定律的表现形式: 定理(辛钦大数定律)0, lim P( X;H|<)=1. 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值,提供了 辛钦 条实际可行的途径:若视X为重复试验中对随机变量X的 第i次观察,则当n→∞时,对X的n次观察结果的算术平均值X 以概率收敛于X的期望值EX=.这为在不知分布的情形下, 取多次重复观测的算术平均值X作为EX的较为精确的估计提供 了理论保证 例如,有一批产品,不知其寿命X的分布,为评价其质量,需确 定其平均寿命X,随机地从中抽取n件产品并测得其寿命分别为 x1,x2,…,xn,则可用hx作为EX的一个估计值,且n越大,越精确

这为在不知分布的情形下, 取多次重复观测的算术平均值 作为 EX 的较为精确的估计提供 了理论保证. X 为评价其质量, 需确 定其平均寿命X , 具有有限 的数学期 EXi =μ, i =1, 2, …， 则对  > 0, 设随机变量序列X1 , X2 , … 独立且同分布, 定理(辛钦大数定律) | ) 1. 1 lim (| 1  −  = = →   n i i n X n P 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值, 提供了 辛钦 一条实际可行的途径: 在同分布条件下大数定律的表现形式: 伯努利大数律是辛钦大数律的特例 若视 X i 为重复试验中对随机变量X 的 第 i 次观察, 则当 n → 时, 对X 的 n 次观察结果的算术平均值 以概率收敛于X 的期望值 EX =  . X 例如, 有一批产品, 不知其寿命X 的分布, 随机地从中抽取n 件产品并测得其寿命分别为 , , , , x1 x2  xn 则可用  作为EX 的一个估计值, = n i n xi 1 1 且n 越大, 越精确

、自由度为n的x2分布Y~x2(n) 随机变量Y=∑X?所服从的分布(诸x独立且都服从N(0,1) 40设X1,…,Xn相互独立,且都服从正态分布N(H,2),则 Y (X-p)2~x2(m) 10可加性——设Y1~x2(m),Y2~x2(m,且Y1,Y2独立, 则H1+Y2~x2(m+n); 20+30若y~x2(m),则EY=n,DY=2mn; 当n充分大时,,近似服从NQ,1 x2分布的上侧c分位数 ≤45时,P(X>xa(m)=m2nf(x)dx=a, >45时,x2号(ua+√2n-1)

—— 随机变量 = = n i Y Xi 1 2 一、自由度为n 的  2 分布 Y ~  2 (n) 所服从的分布(诸 Xi 独立且都服从N(0,1) ) 2 0+30 若 Y ~  2 (n), 则 EY= n , DY= 2n ; 设 X1,…, Xn 相互独立, 且都服从正态分布N(, 2), 则 当 n 充分大时, ( ) ~ ( ); 1 2 1 2 2 Y X n n i i    = = − 近似服从 N(0,1). n Y n 2 − 4 0  2 分布的上侧 分位数 ( ( ) ) ( ) , ( ) 2  2      =  = + P X n f x dx n n  45 时, n>45 时， . ( 2 1 ) 2 2 1 2     u + n −   ~ ( ); 2 则Y1 +Y2  m + n 1 0 可加性——设 Y1~  2 (m), Y2 ~ 2 (n), 且Y1, Y2独立

二、自由度为n的t分布T~t(m) 随机变量T 所服从的分布 (其中X~N(0,1),y~x2(n),X与Y相互独立) 数学期望E(T)=0,方差D(T)=n/(n-2),(n>2) T的密度函数为偶函数; lim f(r) e2,即n充分大时,t分布近似N(0,1) 2丌 但n较小时,t分布与N(0,1)分布相差很大 t分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率 t分布的上侧a分位数/n≤45时,查附表求P(T>t(m)=a n>45时

即n充分大时, t分布近似 N(0,1). T 的密度函数为偶函数； (其中X～N(0,1), Y～ 2 (n), X 与 Y 相互独立) Y n X T = 所服从的分布, 二、自由度为n 的 t 分布 T ～ t (n) 数学期望 E(T)= 0 , ——随机变量 , 2 1 lim ( ) 2 2 x n f x e − → =  方差 D(T)= n/(n-2) , (n>2). t 分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率 但 n 较小时，t 分布与 N(0,1)分布相差很大 查附表求 P(T > t (n))= t  u , t 分布的上侧 分位数 n  45 时,  n > 45 时，  

三、第一自由度为m,第二自由度为n的F分布F~F(m2n) 统计量F=Xm所服从的分布 (随机变量x与Y独立,且Y~x2(m,Y~x2(n) 数学期望E(X)=n"2,n>2,不依赖于第一自由度 F分布的性质:10若X~F(m,n),则1/X~F(n2,m) 20若X~t(m,则X2~F(1,n); 查F分布附表可求P(F>Fa(mn))=a, F分布上侧a分位数的性质F1a(m,n) Fa(n, m)

( 随机变量X与Y独立, 且Y～ 2 (m), Y～ 2 (n) ) 所服从的分布 Y n X m F = 三、第一自由度为m , 第二自由度为n的F 分布 F ~ F(m, n) 数学期望 , 2. 2 ( )  − = n n n E X —— 统计量 F 分布的性质: 10 若X ~F(m, n), 则 1/X ~F(n, m). 20 若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F(1, n); 不依赖于第一自由度 . ( , ) 1 ( , ) 1 F n m F m n  − = 查 F 分布附表可求P(F >F (m,n) )=  , F 分布上侧 分位数的性质

§3抽样分布 统计量是样本的函数,是依赖于样本的,后者是随机变量, 所以统计量也是随机变量,因而就有它们自己一定的分布,这个 分布叫做统计量的“抽样分布” 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性,完全取决 于其抽样分布的性质 抽样分布 精确抽样分布一一小样本问题中使用 渐近分布一一大样本问题中使用 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布,只是强调这一分 布是由一个统计量所产生的.所以在理论上只要知道总体的分布就 可以求出统计量的分布,但实际操作一般都很难求 重点以正态分布为背景,给出几个常用统计量的抽样分布

只是强调这一分 布是由一个统计量所产生的. 统计量是样本的函数, 是依赖于样本的, §3 抽样分布 抽样分布 精确抽样分布 渐近分布 ——小样本问题中使用 ——大样本问题中使用 这个 分布叫做统计量的“抽样分布”. 后者是随机变量, 所以统计量也是随机变量, 因而就有它们自己一定的分布, 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布, 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决 于其抽样分布的性质.    所以在理论上只要知道总体的分布就 可以求出统计量的分布, 但实际操作一般都很难求. 重点以正态分布为背景, 给出几个常用统计量的抽样分布

正态总体的抽样分布定理 当总体为正态分布时,教材上给出了4个重要的抽样分布定理 定理1——样本均值、方差的分布 设X1,X2;,Y是 取自正态总体N(p,a2)的样本,则 (1)X~N(,) 正态分布的线性组合仍服从正态分布 2)…=(xx232 ~x2(n-1); (3)X和S2相互独立 An=16 04 02 n 0 10

设 X1,X2,…,Xn 是 取自正态总体N(, 2)的样本, 当总体为正态分布时, 教材上给出了4 个重要的抽样分布定理. 一、正态总体的抽样分布定理 定理1 则 (1) ~ ( , ); 2 n X N   = = − − n i Xi X n S 1 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 (2)   (3) . X 和S 2 相互独立   EX=, DX=2 /n 正态分布的线性组合仍服从正态分布 2 2  nSn = ~ ( 1); 2  n− ——样本均值、方差的分布

定理2—一样本均值和方差标准化的抽样分布 设X1,X2,…,X是取自正态总体N({u,a2)的样本,则 X-u r(n-1) S/√nS 证由定理的(1)知ⅹ~N(,3 N(0,1) 由定理的(3)与(2)知 (n-1)S 相互独立,且 (n-1)S 2 x(n-1), 由T分布定义知 X-H o/n t(n-1) 上述两个定理中所涉及到的样本均是来自同一个正态总体 但实际中,我们还经常需要考察来自不同的正态总体样本.不妨假 定取自不同总体的样本总是独立的

不妨假 定取自不同总体的样本总是独立的. 但实际中, 我们还经常需要考察来自不同的正态总体样本. 设 X1, X2, …, Xn 是取自正态总体N(, 2)的样本, 则 ~ ( 1) 1 − − − t n S n X n  定理2——样本均值和方差标准化的抽样分布 = − S n X   = − n i Xi X 1 2 ( ) 证 由定理1的(1)知 ~ ( , )， 2 n X N   ~ N(0,1)， n X  −  由定理1的(3)与(2)知 n X  − 2 2 ( 1)  与 n− S 相互独立, 且 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   由 T 分布定义知 ~ ( 1) . 2 2 − − t n S n X    = − S n X  上述两个定理中所涉及到的样本均是来自同一个正态总体