定理1群G中存在一个且只存在一个元,使e=ae=a,对G中所有元成立。 证明:设除了以外,还有具有此性质,即ea=aea,则,日=日-日 定义1一个群G的唯一的能使ea=ae-a(a是G的任意元)的元e叫做群G的单位元。 定理2对于群G的每一个元a来说,在G里存在一个且只存在一个元a,使aa=my 证明:设除了a以外,“具有此性质,即aa=aa= aa=(a)a-=ea-=a- a'aa-=a(aa)=a'e=a' ,所以只有一个这样a的 定义2唯一能使a2a=aC2-的元am做元a的逆元(有时简称逆)。 例1G={全体不等于零的有理数}对普通乘法来说作成一个群。G的单位元为1,a的逆元为a 例2G={全体整数}对普通加法来说作成一个群,G的单位元为0,a的逆元为a。 定义3设∈G,使得a=e的最小正整数m叫做元a的阶:若这样的P不存在,则称a是无限阶 例3G刚好包含x2=1的三个根:1 气 与2 对于普通乘法来说G作 成一个群 I封闭 Ⅱ.结合律成立 ⅣV.1是单位元 V逆元。1的逆元是1,与的逆元是与2,品的逆元是与,1的阶是1,与的阶是3,52的阶是3 定理3群的乘法满足 Ⅲ.消去律:ax=ax→x=x =ya→y=y
定理 1 群 G 中存在一个且只存在一个元 ，使 ，对 G 中所有元成立。 证明：设除了 以外，还有 具有此性质，即 ，则， 。 定义 1 一个群 G 的唯一的能使 （a 是 G 的任意元）的元 e 叫做群 G 的单位元。 定理 2 对于群 G 的每一个元 来说，在 G 里存在一个且只存在一个元 ，使 。 证明：设除了 以外， 具有此性质，即 ， 那么 ， ，所以只有一个这样 的。 定义 2 唯一能使 的元 叫做元 a 的逆元（有时简称逆）。 例 1 G={全体不等于零的有理数}对普通乘法来说作成一个群。G 的单位元为 1， 的逆元为 。 例 2 G＝{全体整数}对普通加法来说作成一个群，G 的单位元为 0， 的逆元为 。 规定： ， 。 定义 3 设 ，使得 的最小正整数 叫做元 的阶；若这样的 不存在，则称 是无限阶 的。 例 3 G 刚好包含 的三个根：1， ， ，对于普通乘法来说 G 作 成一个群。 Ⅰ.封闭， Ⅱ.结合律成立， Ⅳ.1 是单位元， Ⅴ.逆元。1 的逆元是 1， 的逆元是 ， 的逆元是 ，1 的阶是 1， 的阶是 3， 的阶是 3。 定理 3 群的乘法满足： . 消去律： ，
证明:ax=ax→a(ax)=a-(ax)→(a-a)x=(aa)x=a=ex→x=x 同样,由)a=ya可得)=y 推论在一个群里,方程x=b,)=b多有唯一的解
证明： 同样，由 可得 。 推论 在一个群里，方程 各有唯一的解