《微分学》第二讲指数与对数函数.pdf_大学文库

第二讲指数与对数函数 2001年10月19日 1本课的计划和目的还有几分钟,我想趁这个机会讲一讲我的计划和目的.我这个课的课时是8个小时,但微积分大得不得了,微积分的范围很广.不要说8个小时,就是80个小时也讲不完的.所以我当然只能讲个大概,尤其是介绍整个的有些意义的问题.至于详细的情形我没法去多讲.不详细的定义或者证明我想你们已经学过微积分,所以我都不一定要给你们参考书,你们回去看看自己以前用的书,大概在书里找得到.也有我的讲的范围和内容是书中没有的.我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在那些方面向前发展.可以说,微积分向前发展大概有两个最重要的方面.一个是在几何的应用.微积分在微分几何的应用,最早是Gaus.Gass也许不是最早的,应该还有别的人,如 Euler, Monge等人.不过,我想Gaus是19世纪全世界最伟大的数学家.数学在那时候,全世界也就是西欧了.因为这个原因,德国的数学在19世纪是全世界最好的.那时,不但有Gaus,还有 Gauss的影响及其学生.Gass最要紧的学生就是 Riemann.因为有 Gauss和 Riemann,德国的数学就领先,领先的意思就是大家跟着他的方向去发展.在几何上的应用的发展是很多的.当年 Einstein曾说过物理现象就是儿何现象,以此发展他的广义相对论.广义相对论当然要用坐标, Einstein了解最初的坐标表示几何问题,希望坐标(x,y)有几何的意义当一个物理学家觉得应该有几何的或物理的意义时,他做起来才比较合理.不过, Einstein慢慢了解这个做不到,因为空间呢,来得比较复杂,它允许任意坐标,允许坐标的任意选择,因此也允许坐标变换,这就是我们现在所叫的流形.流形的概念是空间概念的推广本来用的是 Euclid:空间或者非欧空间等只有几个空间,现在推广的流形就整个推广了.推广了以后,整个的空间观念在物理上影响向前发展了.因此几何里头要描写物理现象就需要几何新的概念.除了流形之外,还有纤维丛的

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观念.在下面的课中,我想稍微跟大家讲一讲几何方面的发展.微积分还有个发展,最要紧的是复数.很奇怪的,普通的数目是实数,那么在实数域上,x2+1=0就没有解.在复数域上,我们不但使它有解,并且复数有非常巧妙的性质,有很多现象都被放在复数里头了.复数与实数一样,有运算的规律,你用这个规律之后,复数代表了很多现象.我们以后会看到在复数里头的这些内容.所以,数学要应用,我们这个课是应用数学,要学会应用.要应用的话,会发现复数很要紧.因此,复变函数论在19世纪的发展是数学里头最要紧的,是一个比其它方面的发展来得更要紧一些的发展.最后,我得留点时间讲讲在复数方面的应用.复数不只是使得对于任一个方程式有解, 并且利用复数,很多数学问题来得简单.复变函数论比实变函数论简单多了.实变函数论有许多抽象的问题,其实与实际不大有关系,不过当时也需要了.所以这是两个题目,我要在这个课程里头把它们想办法讲一点,使得大家能了解微积分在它们上的应用是最重要的两个方向 2关于 Stokes公式的补充上次讲到了微积分的基本定理,有时候就写成这种形状 rd=/ole-(/ra=() (21) 即这两个式子相等.很惭愧地,当年我在南开思源堂念微积分,我自己就有一个问题,为什么这就是基本定理,始终不懂.很不幸地,你们大概现在也还有这个习惯,不敢问问题.我那时也不敢问问题,跟你们现在一样,始终不懂,过了很多年,才知道(21)的确是基本定理.这是因为(21)说明了微分与积分的关系.这个式子的两端,一边是个定积分,是一个面积,右边是微分相反的运算,所以右边的积分是一个不定积分,换句话,是一个函数,它的微分是∫(x).也就是说,它的左边是积分,右边是微分.那么这个基本定理就说明了微分与积分的基本关系.大致上说,微分是积分的一个反运算,就是要找一个函数,使得它作为已知函数的微分.现在的问题是,到了高维怎么样?这个基本定理是一个变数的.现在假设多变数,会怎么样?这就是 2

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多变数的微积分.有一个n维的空间,n维下来就有许多不同的维.多变数的微积分基本观念是个重积分,在平面上是一个二重积分,在高维的空间是多重积分.我上次讲了,积分有一个积分的区域,积分是在一个区域里求积分然后还有一个算子,主要讨论积什么东西,这一个函数是什么东西.我上次讲这个算子是一个外微分,外微分就是dx,dy这些微分乘起来.不过这个乘法是反对性的,反对称妙极了.因为反对称之后,一个dx不能够存在两次即(dx)2=0.一个要紧的问题是什么叫dax,这个问题比较复杂,讲起来比较长.这个问题也就是什么是一个函数的微分.我们假定dx是确定的,有意义的.以dx为变数造一个多项式,这个多项式的乘法是反对称,这种反对称乘法的多项式叫外微分式,外微分式就是指积分的一个对象,在一个区域里积这个外微分.这也可以看作一种配偶(pair),有一个区域,再有一个积分和, 放在一起,积分有一个值,这个值是一个数,这两个是配合的结果.有了这个多重积分的观念之后,多变数的微积分基本定理,就是所谓的 Stokes定理.St okes定理是一个几何的现象与一个分析现象联合的结果.在高维时候,例如在n维的空间,假使存在一个k维的区域,它可以是低维的任意区域有这样个k维区域,例如平面上一个二维区域,空间中一个曲面等,很明显地,这个低维区域有一个边界.区域有边界的观念是代数拓扑一个基本观念,你要研究它的边界关系,一个深刻的研究就引到所谓(下)同调群( homology) 同调群是代数拓扑研究空间性质的最基本的一个观念.现在有一个k维区域△,它的边界写成O△.另外有一个(k-1)维外微分,外微分式子是k-1次微分以后为k次.所谓 Stokes定理,就是说对于w是一个k-1维外微分式,它的外微分d在△上积分等于把在△边界上求积分,即质是外微分式这个就是所谓 Stokes定理.这是多变数微积分的一个基本定理.在龚升先生写的书中,也特别提出这个观点这个基本定理的确包括我上面讲的那个基本定理作为特别情形.假使这个空间是1维的,在1维的情形,区域是线段,它的边界就是线段的两个端点,两个点求u在两个端点的值(其中u为那个不定积分)就是我在上面基本定理的公式的右边函数在b的值减去在a的值,就

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理可以说区重与外微分是一个对偶,使得求边界跟算这个d这两个算子是adj oint,是对偶的算子,这是个了不得的结果.因地求边界,是一个几何运算其实求一个区重的边界是一个完全的几何的运算,是整个的区重的一个性质.求外微分d是一个局部的,分析的运算,是完全局部的,只与这一点的许近有关系,所以一个是整体的几何算子.一个是局部的分析算子,它们是对偶的. Stokes定理说它们是对偶的,所以这是一个重要极了的定理.我可以下面稍微讲得多一点.空间不一定是普通的 Euclid空间,也许空间拿r做坐标地所谓的流形.假设空间是一个流形的话,也可以讨论它的外微分式例如k次的外微分式.一个k次的外微分式加另外一个k次外微分式还是个k次的外微分式,于是所有的k次的外微分式成地一个我们所谓的矢量空间( vector space,在其中可以进行加减.现在我就讨论所有d=0的这种外微分式,即外微分地0的那些外微分式.在数学上,我们称这种外微分式是写闭( (close)的.这些写闭的外微分式构成矢量空间,因地两个cose外微分相加仍地写闭的.设 I={u是k次外微分式},C={u∈r,du=0}.(27) 那么我取,w是一个写闭的外微分式.现在我把Ck当成一个群,这个群有个子群,这个子群是什么呢?它就是所有的k-1维的外微分式子用d来作用因地d=0,所以它就一定是cose的.因此在所有的写闭的k次外微分式构成的C中,所有d乘上一个k-1次外微分式成地一个子群.于是整个群用子群一除,在群论里头说它是一个商群( quotient).这个群有个名字叫 de rha group H=ck/drk (28) 这在拓扑上非常重要,就是说,外微分式多得不得了,甚至于 close的外微分式也多得不得了,而在你除dB之后,在很多函形之下,就变成一个有限维的矢量空间.那么这个有限维空间的维数是这空间的一个重要的性质,通常叫做 Betti number,这是代数拓扑中最浅的一个基本观念.也就是我们讨论外微分式可以决定它的有些拓扑的不变式 5

➤✱✶⑨❑➢➛✐❻■✹✘➬é❙, ✫③❋✣➂❐➤❨➬d❨Ü➬➤✝✹adj oint, ✹é❙④➤✝, ❨✹➬ê❳③④❼✯. ❖➃❋✣➂, ✹✘➬✁❬ä➤, Ù✧❋✘➬❑➢④✣➂✹✘➬q❭④✁❬④ä➤, ✹r➬④❑➢④✘➬✉ ➓. ❋✐❻■d✹✘➬Û❭④, ■Û④ä➤, ✹q❭Û❭④, ➄➛❨✘➎④➂ ↔❿✞ø, ➘✶✘➬✹r✍④✁❬➤✝. ✘➬✹Û❭④■Û➤✝, ➬➣✹ é❙④. Stokes➼➤⑨➬➣✹é❙④, ➘✶❨✹✘➬➢✞ôê④➼➤. ➲✱ ✶✆➪ã❻❨③õ✘➎. ✽✲❳✘➼✹✃✴④Euclid✽✲, ✎➂✽✲üx✮ ✰✮➃➘➣④✖♦. ✧÷✽✲✹✘➬✖♦④➏, ✎✱✶ÿ❳➬④✐❻■✯, ➽➌k✬④✐❻■✯. ✘➬k✬④✐❻■✯✜☞✐✘➬k✬✐❻■✯↕✹✘ ➬k✬④✐❻■✯, ➉✹➘❿④k✬④✐❻■✯➘➃✘➬➲➣➘➣④✪Þ✽ ✲(vector space), óÙ➙✱✶➓q✜❃. ✙ó➲Òÿ❳➘❿d = 0④❨➠✐ ❻■✯, ý✐❻■➃0④❏✐❻■✯. ó❥➛Þ, ➲➣➪❨➠✐❻■✯✹❯ ✔(close)④. ❨❏❯✔④✐❻■✯è➘✪Þ✽✲, ❖➃Ü➬close✐❻■★✜ ❹➃❯✔④. ÷ Γ k = {ω|ω ✹k ✬✐❻■✯}, Ck = {ω|ω ∈ Γ k , dω = 0}. (2.7) ➃➲❘ω, ω✹✘➬❯✔④✐❻■✯. ✙ó➲➨C k❤➘✘➬❦, ❨➬❦❿➬ ✝❦, ❨➬✝❦✹✤➃✑Ú➬Ò✹➘❿④k − 1➅④✐❻■✯✝⑦d✉✯⑦. ❖➃d 2 = 0, ➘✶➬Ò✘➼✹close④. ❖✩ó➘❿④❯✔④k✬✐❻■✯è ➘④C k ➙, ➘❿d➷Þ✘➬k − 1✬✐❻■✯➘➃✘➬✝❦. ➉✹r➬❦⑦✝ ❦✘ø, ó❦❳➦❃⑨➬✹✘➬Û❦(quotient). ❨➬❦❿➬Ö✠✇de Rham group: H k = C k /dΓ k . (2.8) ❨ó❴➚Þ✿➒➢✞, Ò✹⑨, ✐❻■✯õ③❳③ê, ☎➊➉close④✐❻■ ✯✎õ③❳③ê, ✌ó✜ødβ❷⑨, ó✐õ❁♦❷✆, Ò★➘✘➬❿✦➅④ ✪Þ✽✲. ➃❨➬❿✦➅✽✲④➅❥✹❨✽✲④✘➬➢✞④✉➓, ✴➒✇ ✮Betti number, ❨✹❙❥❴➚➙✦✝④✘➬äý✡✬. ✎Ò✹➲➣ÿ❳✐ ❻■✯✱✶û➼➬④❿❏❴➚④❳★✯. 5

以他是抱着小孩子,孩子坐在他腿上,做他的数学.我跟他曾把发生一个关系,就是我们这个南开图书馆要论要他的全集.他的全集要几千块美金,几百本.很抱歉的,后来我决定论买了.太贵了并且恐况没有人看了,文章都是拉丁文的,结果我们图书馆没有 Euler的全集.我们有很多其它人的全集, 论过现在看来问题是有些文字的问题.比方说,你们如果有功夫的话,可以看看高斯的全集.Gaus刚才我说是19世纪最伟大的数学家,大家都知道他的数学能力.所以说呢,如果人家过节减他,带着他一起去过节,那么过节时就问他小的几何问题,Gaus当然就能解.那么Gaus的小的几何问题的解在他的论文集里,这是很有意思的.这些问题完全是初等几何的,有的就一页做做他的小的几何定理,他的小定理都很有意思我们可以偷他的来写一质文章.很论幸地是他的文章论是拉丁文,就是德文,至少是德文. Euler写了很多东西.这个?式是其中之一,它把几个主要的数连起来.e,,π有这样的关系:e=-1.这是非常有意思的.我再告诉你们另外一个?式,论知你们有无兴写.同样用这个展开的话,可以用到 larctg.. arct.c的微分是所以 arct这个函数有一个性质,就是一直求它们微分的话,式子会比较简单因此由这些就得r的一个式子,即π可以写成一个无穷级数 1 这是一个漂亮极了的一个?式.它把一个1,3,5,7,9这么连在一起,你在起是π/4!所以,这是漂亮极了的一个?式!近代的一个有名的数论家 Selberg,他是挪威的数学家,有一次他写一个文章,这他对数论发生兴写就因为他看到这个?式.他恐况现在是岁数大了一点,我想他可以总有80多岁,人还在 4在几何上应用还有几分钟,下一次我要这一点几何.微积分在几何上的应用.几何上的应用,当然是空间几何最有意思的是曲面的几何一一二维曲面的几何.二维曲面有种种样子,有种种的形式,有种种论同的性质。在这方面有 Gauss的

✶➷✹æø❇✴✝, ✴✝✰ó➷❖Þ, ✮➷④❥➛. ➲❐➷✑➨✕✠✘➬✞ ø, Ò✹➲➣❨➬✟✌❈❱☞✞❳✞➷④❭ø. ➷④❭ø✞✁ú▲➏➋, ✁ ➸ý. ✐æ☛④, ⑨✉➲û➼❳♦ê. Ô✧ê❄✪✾❨➊❿⑤✗ê, ➞✾Ñ ✹♥➯➞④, ❼✯➲➣❈❱☞➊❿Euler④❭ø. ➲➣❿✐õÙ➬⑤④❭ø, ❳✱✙ó✗✉➥☛✹❿❏➞✠④➥☛. ✞✵⑨, ✜➣➌✯❿Õ❡④➏, ✱✶ ✗✗➦❸④❭ø. Gauss➛❜➲⑨✹19✲✖✦➉▲④❥➛✛, ▲✛Ñ⑧✇➷ ④❥➛✕➴. ➘✶⑨✑, ➌✯⑤✛✱⑩❃➷, ◗ø➷✘å❱✱⑩, ➃✱⑩✣ Ò➥➷❇④✁❬➥☛, Gauss❤❧Ò✕❽. ➃Gauss④❇④✁❬➥☛④❽ó ➷④❳➞ø➦, ❨✹✐❿❄❻④. ❨❏➥☛q❭✹ð⑧✁❬④, ❿④Ò✘✏. ✮✮➷④❇④✁❬➼➤, ➷④❇➼➤Ñ✐❿❄❻, ➲➣✱✶❁➷④✉❯✘➓ ➞✾. ✐❳s➃✹➷④➞✾❳✹♥➯➞, Ò✹②➞, ➊è✹②➞. Euler❯ê ✐õ➚Ü. ❨➬Ú✯✹Ù➙❷✘, ➬➨✁➬❒✞④❥❐å✉. e, i, π ❿❨ø ④✞ø: e iπ = −1. ❨✹✿➒❿❄❻④. ➲ò➲➟✜➣☞✐✘➬Ú✯, ❳⑧ ✜➣❿➹❧❯. ✸ø⑦❨➬✵✌④➏, ✱✶⑦tarctgx. arctgx④❻■✹ 1 1+x2 . ➘✶arctg❨➬❁❥❿✘➬✉➓, Ò✹✘❺❋➬➣❻■④➏,✯✝❒✞✈❀❭. ❖✩❸❨❏Ò③π④✘➬✯✝, ýπ✱✶❯➘✘➬➹❆ÿ❥ π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · (2.23) ❨✹✘➬↕àôê④✘➬Ú✯. ➬➨✘➬1,3,5,7,9❨➃❐ó✘å, ✜ó ✘å✹π/4 ➻➘✶, ❨✹↕àôê④✘➬Ú✯➻↔❙④✘➬❿Ö④❥❳ ✛Selberg, ➷✹■❹④❥➛✛, ❿✘✬➷❯✘➬➞✾, ❨➷é❥❳✕✠❧❯ Ò❖➃➷✗t❨➬Ú✯. ➷✾❨✙ó✹➭❥▲ê✘➎, ➲✳➷✱✶✎❿80õ ➭, ⑤↕ó. 4 ó✁❬Þ❛⑦ ↕❿✁■➝, ✆✘✬➲✞❨✘➎✁❬. ❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ✁❬Þ④❛ ⑦, ❤❧✹✽✲✁❬✦❿❄❻④✹▼➪④✁❬✠✠✓➅▼➪④✁❬. ✓➅▼ ➪❿➠➠ø✝➬❿➠➠④♦✯➬❿➠➠❳✸④✉➓✂ó❨✵➪❿Gauss④ 9

Ó✯, Ò✹ ds2 = dx2+dy2+dz2 = Edu2+2F dudv+Gdv2 , x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) (2.23) ❨➬▼➪✴➒⑦❦❥✱✰➬ó❨➬➤➅✽✲➙, ✰✮✹(x, y, z), ➉✹➨ ➤➅✽✲④✰✮✱✰➃Ü➬★❥④❁❥, ➘✶x, y, z✹Ü➬★❥u, v④❁ ❥➬➲➣➪❷➃❦❥(par ameter).➉✹❨➬✽✲➦❃❿✘➬áå➡ds2➬Ò ✹dx2 + dy2 + dz2 . ➨x, y, z ✱✰u, v④❁❥❷⑨➬ds2 Ò★➃✘➬✓✬④❻ ■✯, Ù➙ø❥, ✘➘Ò✇✮E, F, G. ➲➣❆③✁❬✌✮④✣⑧❿Euclid✁ ❬➬Euclid✁❬✐➉▲➻➬✹❃✘ýr➬④✁❬, ➬✗ñ✉✞❿✘➠Ú➤③ t❥➛④❼❳✹✐➢✞④➬❖➃❥➛❼❳✹❸✘➬Ú➤➨✱✘➬❭ö④▼ ➤③✉. ❖✩, ❨➬✹✐ä✍✐✯û④✘➬❼❳. ✌✪➬Ù✧❳➄✹✁❬, Euclid❨➬✕✁❬➷ý✖✹r➬④❥➛. ➷✗ñ✉❸Ú➤⑦❭ö✵✛▼ñ❼ ❳④➢✞✉. é➉❨✵➪➲ú③✐♥❝④✹➬➙✮➊❿. ➲➣❨➬✶✹❛⑦ ❥➛, é➉❛⑦❥➛, ➙✮ÔÕ➢❛⑦ê, ⑧❬➚ÜÑ✘➼✞❿❛⑦. ✌é ➉❨ø④✘➬❥➛▲✛✶➃➊❿✤➃❛⑦, Ù✧✦ð✜✞④✹✦ð✮ê✘ ➎④➏, ❛⑦❒✉④, ❄✪❛⑦❮➢✞, ❮ý✴. é➉❨➬✓✬❻■✯(2.23), Gauss④Ó✯Ò✹✱✶✃â❨➬✓✬❻■✯, ✕✵✘➬✁❬, ❨➬✁❬Ò▲ ③❳③ê. Euclid✁❬✱✶➬④❻■✯Ò✹du2 + dv2 , ❨✹✘➬✦❀❭④❁ ♦. ☞✐✘➬❁❨❷✆Ò✱✶✕✵✿◆✁❬. ✙óE, F, G✹⑧❄❁❥, ò✜ Þ✘❏✼❤✣●, ❨➬✁❬④✡✬✒▲③❳③ê. Ò✹⑨, ó➤➅✽✲✱✶ ❿★➪, ý★➪Þ④✁❬➬✱✶❳☛❨➬▼➪ó➤➅✽✲➦④➔➌, ➄✤ ❉ó▼➪Þ④❨➬✁❬, ➬Ý✐Euclid✁✿Euclid✁❬⑧ó✓➬✒③ê❳③. ➉✹, ❨ø④✘➬✕✙✫③✁❬❿✐õ➬◆❁✁❬④✡✬✎Ò▼✒t✘➘ ④❁❨. ➘✶, ➲✆✬✞❨➎❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ➲✳➌✕✎➂❿❳õ, ❨qê, ❭❭➻ 10

《微分学》第二讲 指数与对数函数

《微分学》第二讲指数与对数函数