北京大学数学科学学院高等代数(I)期末考试题 班级姓名 学号 成绩 (本题共40分)给定有理数域Q上的多项式f(x)=x4+3x2+3 (本题5分)证明f(x)为Q中的不可约多项式 (本题5分)设a是f(x)在复数域C内的一个根.定义 Ca]=tao+aia+a2a) 证明:对于任意的g(x)∈Q[],有g(a)∈Qa];又对于任意的β,y∈Qa],有βy∈Qa 3.(本题5分)接上题.证明:若β∈Qa],B≠0,则存在y∈Q[a],使得B=1 4.(本题15分)找出f(x)的一个 sturm序列.判断f(x)有几个实根 5.(本题10分)求下面三阶方阵在有理数域Q上的最小多项式 (本题10分)在欧氏空间R内求下列齐次线性方程组 +x2+3 000 +x2+9x3 的解空间的正交补空间的一组标准正交基 三.(本题15分)给定数域K上的多项式f(x)=x3+px+q设f(x)在复数域C内的三 个根是a1,a2,a3.求K上的首1三次多项式F(x),它以a2,a2,a3为三个根 四.(本题共15分)设A是m维酉空间V内的一个 Hermite变换 1.(本题5分)证明A-i可逆,这里i为虚单位 2.(本题10分)证明U=(A-iE)-1(A+iE)为酉变换 五.(本题10分)设A是n维酉空间V内的一个线性变换.如果A的特征向量都是A* 的特征向量,证明A是正规变换 六.(本题5分)证明在n维欧氏空间v中两两夹钝角(即夹角大于翌)的向量不能多于 +1个 七.(本题5分)考察复数域上全体m阶方阵所成的集合Mn(C,它关于矩阵的加法及实数 与矩阵的数乘组成实数域R上的线性空间.设M为其子空间,且满足:()若A,B∈M, 则AB∈M;(i)若A∈M,A≠0,则A可逆,且A 1.证明:任给A∈M,则A=aE(a∈或A=aE+B,这里a∈R且B2=bE (b∈Rb<0) 2.令N={A∈M42=bE,b∈R,b<0},证明N是M的子空间
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试题在复C内分个义 都.[P与满用{北北判别法 2.|g力q劫態劫钔且劫前go劫满o劫能0態则g规能=规態所α 堋任得满大能 若B与意规能?与意规能不意与意劫劫能则β与薏熊所 堋任得或能 满|与且a且b2a2·不g劫能与bo且加且b2加因知令可N+dg劫能 eg矩能故劫餉劫;1 规任得2大能 于是察;劫餾劫能ε所邡使得;劫熊劫且肋能劫能与1.4得β鼢 態所a],不γ与B规艏可 规任得或能 即不短力能与能短劫能与接与与媚围加 矩能与切1劫且规2加满[短劫能与2加满 短劫能一加且矩劫俞且 矩劫能1;-1 于是短劫能矩劫能短劫能矩劫俞为知能M一个 sturm序列 规任得8大能 矩劫能矩劫能短劫能短劫能则劫能 屏且且且 存 且 矩力M实根体与则规存能存前与2-1与1 规任得1或大能 成AM厘关1”且减哪赛“1在个她据复概 A在C内M列1几标准求为对角/阵下对角线面三阶令方阵 代 规任得最大能 于是AM最小多n关4为 多n关矩规能 规任得10大能 Q求)正女补空间4为小A体阵M(/学成成M空 堋任得满大能 因 1满 21满 最 满 20-2 1一满 01-9-1 满19-1 10最0 0000 故它M一组基*可为an与规0,最能a2与规1,-9,1能
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堋任得或能 翅,能与需1,满-1能 规任得8大能 )代 丿 规0,最0能 满,一9,-满能 堋任得10大能 方法正uA欧察错2最大能 F劫能;枷α加α加a3能 规,a2,a3且规,a2,a3能,a2,a3能 规任得满大能 因为 规,a2,a3能=2且q2且3 规1且a2且a3能-2规a2且q1a3且o 规2,a2,a3与aia2且aa3且a2a 规a2且a1a3且a2a3能-2a2a3且a1a2a3且a1a2a2能 p2-2规q且a2且a3前;p2 B规,a2,a3;1a2a3能与规q能 燃集 各得即大能 故F能;加且2p加且 谢任得1或大能 四,1因为北完学6款为实体代对于e,与一繁A与北 _秤 2.因A 科A且种富-秤A且科 期且科期-秤与且科秤与ˉ科 堋任得即大能 于是 禾期且科与烯且科-科且秤 小任得 其期与科
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堋任得10大能 班对n体学。9法”n与1解交补标准成基”对n-1维酉空间交补成基三 他光与解1为A一个名冰化与空数句能则A与不 句规能任解的首为A.性烃能与AM公钝令古子空间 规任得或大能 它队在的首集代齿A性AA阶为纯应学标准A茵AM在学成是A茜 于 法酉 齿 首集M正 西 标准又察AAa与0%a与AAm,故AA与 代A为正(京 学 堋任得10大能 六对n体学39法”n与1解交补标准成基对n-1维欧氏空间交补成基三 北与解代V内察nB个学成114现本本题共角代是件+0 <n 2能不的 V的⊕的首对于is1,2,dn且1 aH=k项2且H颊H的能 因规项的规项,项能0故叶又三与解代 规Hcm与面规项2,a项2且e能0 而k规项2,项2能0,故能0.(样代的首是n-1维欧氏空间代8:,B,((,项 是的首内且个本本共代得1大能 矛盾 烤证明<察实质性M思想 给1.若的与①,交补标准成基下面的与0[A∈的,A与,则A的,于 是E与AA4的.考虑 EA. A 小于d北的≤m,故察 与0且1若考 不矩加-ck4 考 f广c0∈协址察 矧能;一-a能加-a能加能r且p加q能 <咡He,∈R,-即中0规<1<0,1≤j<s能于是 0与矩规能与规-aE能(-aE能规?且n4且E能(r2且n24且E能 因A-aE∈的,A2且eA且9E∈的,小集关及的3足M条件推知必察某个A-aL0 5某个42且∞A4且E与0.若42且4且E与0,4 规且E能-=BE与0 不B与4且E,4为Q求
✰ ✩❹❸✆❺★➜ ✱ ✲➣✴ ✗ ◗⑧❸ ù☞Ý✻✵Þ✆ß✵à✆❇✧ ù★❉ âá✆ã✵ä✵å✆æ✾✆ç✧P❞❸ ù❣➮ úû✯Ð Ñã✆ä✾✆ç✧☞è ⑤✁➦❋ü ❉ïù á✡P❞é➥❍④➄❩ ÷ ❁❀♥❀♦ê✛✵✜êÕê✡ ÷❡❳❉ë➥❍④ ❡ø✩❤❡ï➔❉ ✱✌✴⑦➂é↔ ÷★✧⑦❡ ❉íì❾④ ❡❊◗❾❵ ❁✾❉❷î ✩❡✏✴⑦◗ï❺á ❁ñð♠❩✙÷ò✧ × ✩❤÷ò✧ ✴✞✧s❉➣÷ ❁✆ó★✮★❵✆✂✠❍✯Ð❶Ñ♠✧ ✩❹❸✆❺★➜✾❚❯✲✵✴ ô✼õ✐❢❁ñð➀✿✼✡➣÷➨❞ ö➁÷ × ÷ò✧➧❞ ö➁÷ò➽➣❩➣✮✼➩✠✂✼☎➣✧ å✼æ ÷➛❞ öø÷⑧❁✼✛✼✜❩✢✙✤✠ù➣❢ ÷★✧➯❞ öø÷ ❁ñ✛ñ✜➌✢❱✤①✧P❹①❢ñ✡◗úñßñàñ❇ñû①❞ñ✡ ÷➨❞ ö÷ ❩ ❁ñð ✿①❁①âñ✩ñ✂ñ☎①❷ ÷➨❞ ö÷ ÷ò✧➧❞ ö÷ ❉ ÷ò✧➧❞ ö➁÷➓÷➛❞ öø÷✷◗ å✆æ➆✹ ÷÷★✧⑦❡❶❉ü➥④ ì④ ❡❶❉ ÷ò✧❐÷❡❊➂ý➄ ÷÷ò✧➀❉ë÷★✧⑦÷✒✡☞✰ ÷Ó❩✯â✵✩✵✂ ☎★✧ ✩❹❸✆❺★➜ ✱ ✲➣✴ ✪ ◗❙❸✜ù➨Ý★✻✆Þ✠ß✆à✠❇★✧ ù❣❉ ❏á✠ã✆ä✠å✆æ✾✠ç✯✧P❞✯❸ ù➄➮ ú★❰❳Ï♠Ð❳Ñã✠ä✾✠ç✯✧☞è ⑤✁➦❋ü✒❉➣ù á✡❴➒❭üø❧▲✹ ù ■ ❝ ♦✣✢✥✤ ❡ ⑥ ➉⑧Ú⑧Ú②Ú❾➉➧❡❃➓ ⑥ ➉➧❡❃➓◆ ✫✠✫✆✭✠✮✠✯✆✡❴❹★❢➙✩❤❡❛þ➧➉➧❡➉ÿ③✴Ô❫→✱ ✩ ✁✄✂ ❫✆☎ ù ■ ❝ ✴⑦◗❛❵❝❁✜❉✠î ✩❡❃➓ ◆ ◗✏↔✜ü✒❉✼❁✞✝◗❁ð ◗✏❸★❹ ✂ ❉ ➉ ❝ ➉②Ú⑧Ú⑧Ú❾➉➧ùò■ ➂⑤❞ ❡❛þ➓❉✠✟➧þ ❡❃➓◆ ■♠➇❲þ➋➉ ✩❇➇➦þé❿★❁ð ✴ ⑩ ➀❭✩❤❡þ ➉➧❡❛❃➓◆ ✴❊❉✠✟þ ✩❡s❃➓ ◆ ➉➤❡s❃➓ ◆ ✴Ô❫❋✱❘➂✉➄✡✟þ ❫→✱❍◗➓➆✠è ✂ ❉☛☎ ➔ á✡ ✩❤❡þ ➉➤❡ÿ ✴é❉☞✟þ ✟ÿ ✩❤❡❛❃➓◆ ➉➧❡❛❃➓◆ ✴➓■➣✩❤➇þ ➉ ➇ÿ ✴Ô❫→✱❘➉ ➈✌✟þ ✟ÿ ✩❤❡❛❃➓◆ ➉➧❡❛❃➓◆ ✴✎✍→✱❍➂Ñ➄✙✩❇➇þ ➉➧➇ÿ ✴ ❫➑✱❍◗➉☛✑✏✼✡❷❁ñð❴❢Óùs➮ ú➣❰ÏÐ❶Ñ✙✡→➇❾⑥ ➉➧➇◆ ➉⑧Ú⑧Ú②Ú❾➉ ➇❲❃➓ ⑥ ❢❢❁ñð★❧ ùò■ ♦✠✫✠✫✆✭✠✮✆✯★❁✣✢✥✤✠✡ ❉ß✠à✆û★❞☞✒✑✓★✧ ✩➒✯❱❶❲★❫▲✹★➳☞✔★×★❁☞✕✑✖✆✡☛✗✑✘✯✹✑✙✆✾★❱❶❲✥✡P❛✯➜ ⑧Ð ❝ ✲✵✴ ✶ ◗ ◗✍➒♥❁✾❉✒✇③✱ ⑨ ➂ ã✠ä✆å✠æ✾✆ç★✧➑➺★➻★❞❳❁ ❉①✇ ➔ ✱ ⑨ ◗❛r ➹ ❿❖❁❶➂ ➹ ❉★✱❘➂➵↔ ➔ ➹ ✔ ⑥ ❿ ❁❶➂î❹ ❢❝❘✒❉ ➹s➹✔ ⑥ ❿◆❁❶◗s✷☞✚ ❘ò➉ ➹ ➉ ➹◆ ➉②Ú⑧Ú②Ú ⑩ ➶♠❹❝⑤✁➦❷❁ ù➏◆Þ➂✉➄✯✹ ➹✜✛ ❉✠✢④ ❘➣■☛✢⑥ ➹ ■❷Ú②Ú⑧Ú③■☛✢✛ ✔ ⑥ ➹✣✛ ✔ ⑥ ✩✤✢④ ➉✥✢⑥ ➉②Ú⑧Ú⑧Ú❾➉✥✢✛ ✔ ⑥ ❿⑧Ò✈✴ ⑩ ❵✜❅✍✩❇❆➟✴✷❉❋❆ ✛ ➮✦✢✛ ✔ ⑥ ➹✛ ✔ ⑥ ➮❱Ú⑧Ú⑧Ú✌➮✦✢④ ❿⑧Òr❆❍t➃◗ ✹ ❅✍✩❇❆❈✴❊❉✒✩❤❆ ➮❣② ⑥ ✴★✧★✩❛Ú②Ú⑧Ú③✩❇❆ ➮ ②✫✪ ✴★✧✭✬✌✩❤❆◆ ■❴ì⑥ ❆ ■Pí⑥ ✴ ➋✩❛Ú②Ú⑧Ú③✩❇❆◆ ■➀ì✯✮➤❆ ■▲í✰✮⑦✴ ➋✲✱ ➉ ●❶❫Ó②❙þ➧➉❤ìÿ ➉➤í✕ÿ ❿➀Ò❊➂❍ì❖◆ÿ ➮❣✰✌í❯❫→✱➄✩ ✁ ✳ ④ ➉ ✳ ☎ ✵✴ ✴⑦◗✍❹★❢ ✱✳❉★❅✍✩➹ ✴é❉ ✩➹ ➮ ②❘⑥❬❘✳✴ ✧★✩ Ú⑧Ú②Ú ✩➹ ➮❣②✪❘✴ ✧✶✬ ✩➹◆ ■❴ì➟⑥ ➹ ■▲í⑥❬❘✳✴ ➋✩ Ú②Ú⑧Ú ✩➹◆ ■❴ì✮ ➹ ■▲í✮ ❘✳✴ ➋✲✱ ⑩ ➀ ➹ ➮ ②þ❘❳❿★❁➉ ➹ ◆ ■ ìÿ ➹ ■⑧íÿ ❘ ❿◆❁❶➂➳➶♠✿➣❄✼❈ ❁ ❑✼▲➣❁✑✷✠✸✠✹✠✺✠✻★✹✠✼➣♦ ➹ ➮ ②þ ❘✒❉➣✱ ❚✑✼✯♦ ➹ ◆❊■❴ìÿ ➹ ■▲íÿ ❘①❉➣✱❘◗✏➒ ➹ ◆❊■➀ìÿ ➹ ■▲íÿ ❘✒❉➣✱❍➂✉✰ ✩➹ ■ ìÿ ❝ ❘✳✴ ◆ ➮ ìÿ ➮❣✰✌íÿ ✰ ❘✒❉✵✱ ⑩ ❵❝▼ ❉ ➹ ■✾✽❀✿ ◆ ❘➂✉✰★❩✠✽✯➸★✧
堋任得满大能 2.将C看R集M2维线性空间定义映射 4<Tr规前为A∈的M迹*T标准是R线性映射 c等A∈约+4与则与E规≤0能AM最小多n美为2=b无重根楼故A 内方似于对角f阵A下对角线集M面三为±b为纯虚体*于是Tr规前为纯虚体姚 意:方似f阵M迹方阵餞 之代A∈的+T规的纯虚体若A与标准A∈约否则A与E 小集面1 A与B且B,+B与E规b∈Bb中能于是T规能与a且规能 而T塘前为纯虚体{必察a与0,4与 B∈约 小 是的<迹为纯虚体Mf阵M理数*小任4知约式于埃体前体乘 性z法封 约是的M子空间 燃任得能
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