定理1假定群G与非空集合G对于它们的乘法来说同态,那么G也是一个群。 证明:设同态满射为v L.(对于乘法是封闭的 Vabe(,因为为满射,所以存在a,0,a)=av(b)=b ab=v(a)v(b)=v(ab)∈G 结合律由第一章中定理即得: Ⅳ.设G的单位元为曰,W()=百,下证百为 的左单位元 ∈G.W(a) ea=w(eya=u(ea)=y(a)=a V.vaeG,存在Q∈G,使 a-la=ev(a2a)=w(e)=→v(ak(a)=→w(a-)a=百 所以石的左递元就是v(a) 例1A=a,b }。A的乘法由下表给出 令G={全体整数},则G对普通加法成群。可以证明G与A同态,从而A是一个群
定理 1 假定群 G 与非空集合 对于它们的乘法来说同态，那么 也是一个群。 证明：设同态满射为 ， I. 对于乘法是封闭的； ，因为 为满射，所以存在 ，使 ， ， 。 II. 结合律由第一章中定理即得； IV. 设 G 的单位元为 ， ，下证 为 的左单位元； ，存在 ，使 ， 。 V. ，存在 ，使 ， ， ， 所以 的左逆元就是 。 例 1 A＝{ }。A 的乘法由下表给出： 令 G＝{全体整数}，则 G 对普通加法成群。可以证明 G 与 A 同态，从而 A 是一个群
注意,假如G同G的次序掉换一下,那么定理1不一定对,换一句话说,假如G与G同态,那么G不 定是一个群 例2(=所有奇数}。(对于普通乘法来说不作成一个群,G={e}。G对于乘法=来说显然作成 群。但,v:a_>Q显然是G到G的一个同态满射 由定理1的证明直接可以看出 定理2假定G和(是两个群。在G到(的一个同态满射之下,G的单位元e的象是(的单位元,G 的元a的逆元a的象是a的象的逆元
注意，假如 G 同 的次序掉换一下，那么定理 1 不一定对，换一句话说，假如 与 G 同态，那么 不 一定是一个群。 例 2 ={所有奇数}。 对于普通乘法来说不作成一个群，G＝{e}。G 对于乘法 来说显然作成 一个群。但， ： ——> 显然是 到 G 的一个同态满射。 由定理 1 的证明直接可以看出 定理 2 假定 G 和 是两个群。在 G 到 的一个同态满射之下，G 的单位元 e 的象是 的单位元，G 的元 a 的逆元 的象是 a 的象的逆元