例1R只包括一个元a,加法和乘法是 aa=a aa=a 这个环R的唯一的元a有一个逆元,就是a本身 例2全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说显然是一个环。这个环的一个任意元a≠0显然有 逆元a 定义1一个环K叫做一个除环,假如 1.2至少包含一个不等于零的元 R有一个单位元 3.2的每一个不等于零的元有一个逆元 定义2一个交换除环叫做一个域。 (1)一个除环没有零因子。因为:a=0,ab=0→a-ab=b=0 (2)一个除环的R不等于零的元对于乘法来说作成一个群。 例3R=(所有复数对(a,B)1 (a1,A+(a2,B)=(1+a2,A+B2) (a1,A)(a2,月2)=(a12-B1A2,1月2+A区2) R有一个单位元,就是(.0) (a,)不是R的零元(0.0),它就是一个逆 a+改+ R不是交换环。这个环叫做四元数除环 几种最常见的适合附加条件的环的隶属关如下表 环 交换环有单位元环无零因子环 域
例 1 只包括一个元 ，加法和乘法是： 这个环 R 的唯一的元 a 有一个逆元，就是 a 本身。 例 2 全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说显然是一个环。这个环的一个任意元 显然有 逆元 。 定义 1 一个环 叫做一个除环，假如 1. 至少包含一个不等于零的元； 2. 有一个单位元； 3. 的每一个不等于零的元有一个逆元。 定义 2 一个交换除环叫做一个域。 (1) 一个除环没有零因子。因为： (2) 一个除环的 不等于零的元对于乘法来说作成一个群。 例 3 ={所有复数对 }。 有一个单位元，就是 。 不是 的零元 ，它就是一个逆元 不是交换环。这个环叫做四元数除环。 几种最常见的适合附加条件的环的隶属关如下表：
