兰州大学：《矩阵理论》第八讲 矩阵的条件数

矩阵理论-第八讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-1

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-1 矩阵理论-第八讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 Hermite矩阵正定性 0≠x∈C Ax>o 方阵的范数 三角不等式‖4+B≤4+1B 2.绝对齐性 3.正定性 1>0|4=0÷A=0 4.相容性Bs4|B Ar<alm. x 各种矩阵范数 F A maX 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 从属于向量范数的矩阵范数 p(A)≤| 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用P( A)Asup{列:λ∈σ(4)} 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲2

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-2 上节内容回顾 • Hermite矩阵正定性 • 方阵的范数 1. 三角不等式 2. 绝对齐性 3. 正定性 4. 相容性 • 各种矩阵范数 – 1 – – F – 2 – – 1 –、 2 – – 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 – 从属于向量范数的矩阵范数 – 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用 0 H 0 x Ax  n  x C H A A = A B A B +  + A A A  =  = 0 0 0   A A = AB A B   v m v Ax A x   m1 − m − − 0 max v x v Ax A  x = ( ) A A      ( ) sup{ : ( )} A A  

矩阵的条件数 定义矩阵条件数的工程背景 许多工程问题,常常归结为求解矩阵方程 ax=b 由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件(例如电路元件)的参数值, 或系统输岀的观测值,所以不可能没有微小的误差或扰动。 ?数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响 ?怎样度量这种影响 ?怎样给出这种误差上界 21.0001八(x,)(50001 20.9999 5.0002 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-3

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-3 矩阵的条件数 • 定义矩阵条件数的工程背景 许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程 由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值， 或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。 ？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响 ？怎样度量这种影响 ？怎样给出这种误差上界 Ax b = 1 2 2 1 5 2 1.0001 5.0001 x x             =       1 2 2 1 5 2 0.9999 5.0002 x x             =      

矩阵的条件数 当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时,称之为病忑 坏条件的)方程组,反之,称之为良态(好条件的)方程组。通常 用方程组系数矩阵A的条件数来刻画方程组的这种性态 cond(4)=1|4r1 > help cond COND Condition number with respect to inversion COND(X returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix COND(X, P)returns the condition number of X in P-norm NORMX, P)*NORM(INVOX), P) Where p=1.2 inf or ' fro Question: What is the singular value of a matrix? 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲4

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-4 矩阵的条件数 – 当一个方程组由于初始数据的小扰动而使解严重失真时，称之为病态 （坏条件的）方程组，反之，称之为良态（好条件的）方程组。通常 用方程组系数矩阵A的条件数来刻画方程组的这种性态 >> help cond COND Condition number with respect to inversion. COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix. COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm: NORM(X,P) * NORM(INV(X),P). where P = 1, 2, inf, or 'fro‘ 1 cond( ) A A A− = 

矩阵的奇异值 定义 设A∈Cm(r>0),HA的特征值为 1≥≥… n=0 则称 √( 为A的奇异值 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲5

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-5 矩阵的奇异值 – 定义 设 ， 的特征值为 则称 为A的奇异值 1 2 1 0         = = r r n + ( 0) m n A C r r    H A A ( 1,2, , ) i i   = =i n

矩阵的条件数 用 MATLAB验证 A 21.0001 的条件数 与下面的方程组进行比较: 用 0.999 1.001 来验证其对误差的鲁棒性( Robustness) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲6

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-6 矩阵的条件数 用MATLAB验证 的条件数 与下面的方程组进行比较： 用 来验证其对误差的鲁棒性（Robustness） 2 1 2 1.0001 A   =     1 2 1 2 7 2 1 1 x x             =     − −   1 2 1 2 7 2 0.999 1.001 x x             =     − −  

矩阵的条件数 精度分析 检验Ax=b解的精度的一般方法,或者用迭代法进行数值求解时,使 迭代终止条件,是将x代回原方程组计算残差向量 6-ax 对良态方程组,如果很小,一般可认为解是好的,或迭代可以中 止,但对病态方正组,这结论不成立。例如,以 作为 21.0001八(x,(50001 解,则 0)但上解与其准确解(x 相差甚远 0.0003 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲7

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-7 矩阵的条件数 – 精度分析 检验Ax = b解的精度的一般方法，或者用迭代法进行数值求解时，使 迭代终止条件，是将x代回原方程组计算残差向量 对良态方程组，如果 很小，一般可认为解是好的，或迭代可以中 止，但对病态方正组，这一结论不成立。例如，以 作为 解，则 但上解与其准确解 相差甚远 1 2 3.5 2 x x       =       − 1 2 2 1 5 2 1.0001 5.0001 x x             =       0 0.0003 r   =     1 2 2 1 x x       =        = −b Ax 

矩阵的条件数 先分析方程组Ax=b中只有b有扰动δ的情况。设由δb引起的解x的 扰动为δx,则(设A∈Cn) 0)一x=b Sx=A S6 由相容性条件 b=4xsAx→|≥ A|b61||5b 4 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲8

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-8 矩阵的条件数 – 先分析方程组Ax = b中只有b有扰动 的情况。设由 引起的解x的 扰动为 ，则（设 ） 由相容性条件：  x A x x b b ( ) + = +   Ax b = A x b   = n n A Cn   1   x A b − = 1 x A b b Ax A x   −  =  b x A  1 1 1 x b A b A b A A x x b b A     − − −   =b b

矩阵的条件数 再分析方程组Ax=b中只有A有扰动δA的情况。设由A引起的解X日 扰动为δx,则(设A∈Cn) (+60+112=1(+) Sx=-A SA(x+sx) x51154(x+15xD 1--140,1x1|4 当A464<1时 A4|6A A δA 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲9

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-9 矩阵的条件数 – 再分析方程组Ax = b中只有A有扰动 的情况。设由 引起的解x的 扰动为 ，则（设 ） 当 时  x ( )( ) A A x x b + + =   Ax b = A x A x x    = − + ( ) n n A Cn   1    x A A x x ( ) − = − +  A  A 1    x A A x x ( ) −    + 1 1 (1 ) A A x A A x    − − −   1 A A 1 −  1 1 1 (1 ) 1 (1 ) x A A A A A x A A A A A A A      − − − −  = − −

矩阵的条件数 当A与b二者均有扰动时,由于Ax=b的线性特性,其扰动结果为二者 扰动之和 Aibl δb δb x A-|)S AA (1-4164) 1-14 注意到当N64<1时 A 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8计-10

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第8讲-10 矩阵的条件数 – 当A与b二者均有扰动时，由于Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者 扰动之和 注意到当 时 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) x A A A A A x A A A A A A A      − − − −  = − − 1 1 1 x b A b A b A A x x b b A     − − −   = 1 A A 1 −  1 1 1 1 1 1 1 A A A A A A A A A A A A   − − − − −  = − −