第六章一元微积分的应用 ∵.选择题 1.设x)在(-∞,+∞)内可导,且对任意x1,x2,x1>x2时,都有fx1)>fx2),则 (a)对任意x,f(x)>0(b)对任意xf"(x)≤0 (c)函数f(一x)单调增加 (d)函数f(一x)单调增加 解.(a)反例:f(x)=x3,有∫(0)=0;(b)显然错误.因为(x)≤0,函数单减;(c)反 例:f(x)=x3,f(-x)=-x3单调减少;排除(a,(b),(c)后,(d)为答案具体证明如下 令F(x)=-f(-x,x1>x2,-x1一f(-x2)=F(x2) 2.设x)在(-兀+可上连线,当a为何值时,F(a)=⊥U(x)- a cos nx dx的值为极小 值 (a)f(x)cos nxd f(x)cos ndx (d) f(x)cos ndx 解.F(a)=「Df(x)- a cosnx]2dx =a cos nxdx-2a f(x)cos nxdx+f(x)dx x2-2a,()cos ndx+,f(x为a的二次式 所以当a=1 f(x) cos ndx,F(a)有极小值 3.函数y=fx)具有下列特征 0x0;厂(x1>0x>D·则其图形 (a) 解.(b)为答案 4.设三次函数y=∫(x)=ax3+bx2+cx+d,若两个极值点及其对应的两个极值均为相 反数,则这个函数的图形是 (a)关于y轴对称(b)关于原点对称(c)关于直线y=x轴对称(d)以上均错 解.假设两个极值点为x=t及x=-t(t≠0),于是ft=-f(-t).所以 +br2+ct+d=at3-br2+ct-d,所以b+d=0 f(x)=3ax2+2bx+c=0的根为x=±t,所以b=0.于是d=0.所以 f∫(x)=ax3+cx 为奇函数,原点对称(b)为答案 5.曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形面积可表示为
第六章 一元微积分的应用 一. 选择题 1. 设 f(x)在(－•, +•)内可导, 且对任意 x1, x2, x1 > x2 时, 都有 f(x1) > f(x2), 则 (a) 对任意 x, f '( x) > 0 (b) 对任意 x, f '( x) £ 0 (c) 函数 f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加 解. (a) 反例: 3 f (x ) = x , 有 f '( 0) = 0 ; (b) 显然错误. 因为 f '( x) £ 0 , 函数单减; (c) 反 例: 3 f (x ) = x , 3 f (-x ) = -x 单调减少; 排除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 具体证明如下: 令 F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 －f(－x2) = F(x2). 2. 设 f(x)在[－p, +p]上连续, 当 a 为何值时, Ú - = - p p F a f x a nx dx 2 ( ) [ ( ) cos ] 的值为极小 值. (a) Ú - p p f ( x ) cos nxdx (b) Ú- p p p f (x ) cos nxdx 1 (c) Ú- p p p f (x ) cos nxdx 2 (d) Ú- p p p f (x ) cos nxdx 2 1 解. Ú - = - p p F a f x a nx dx 2 ( ) [ ( ) cos ] Ú - Ú - Ú - = - + p p p p p p a cos nxdx 2a f (x ) cos nxdx f (x )dx 2 2 2 Ú - Ú - = - + p p p p pa 2a f (x ) cos nxdx f (x )dx 2 2 为 a 的二次式. 所以当 a = Ú- p p p f (x ) cos nxdx 1 , F(a)有极小值. 3. 函数 y = f(x)具有下列特征: f(0) = 1; f '( 0) = 0 , 当 x ¹ 0 时, f '( x) > 0 ; Ó Ì Ï > < x x , 则其图形 (a) (b) (c) (d) 1 1 1 1 解. (b)为答案. 4. 设三次函数 y = f x = ax + bx + cx + d 3 2 ( ) , 若两个极值点及其对应的两个极值均为相 反数, 则这个函数的图形是 (a) 关于 y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线 y = x 轴对称 (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为 x = t 及 x = －t (t ¹ 0), 于是 f(t) =－f(－t). 所以 at + bt + ct + d = at - bt + ct - d 3 2 3 2 , 所以 b + d = 0 ' ( ) 3 2 0 2 f x = ax + bx + c = 的根为 x = ± t, 所以 b = 0. 于是 d = 0. 所以 f x = ax + cx 3 ( ) 为奇函数, 原点对称. (b)为答案. 5. 曲线 y = x(x - 1)( 2 - x) 与 x 轴所围图形面积可表示为
(a)-[x(x-1)(2-x)dx(b)[x(x-1)(2-x)dx-x(x-1)2-x)dx x(x-1(2-x)dx+1x(x-1)2-x)dtx(d)|x(x-1)(2-x)dx 由图知(c)为答案 二.填空题 1.函数F(x)=//2、1 G(0的单调减少间 解.F(x)=2 b>0之间的图形的面积 二椭圆的第一象限交点的x坐标为x=-ab所以所求面积为 s=tab-4 a+B xdx-Va+8a x dx =Tab-4 arcsin - arcsin a(2 =rab-4--arcsin arcsin 2(a2+b2) 2(a2+b rab-2abl arcsin arcsin
(a) Ú - - - 2 0 x(x 1)(2 x )dx (b) Ú - - 1 0 x(x 1)(2 x )dx Ú - - - 2 1 x(x 1)(2 x )dx (c) Ú - - - 1 0 x( x 1)(2 x )dx Ú + - - 2 1 x( x 1)(2 x )dx (d) Ú - - 2 0 x (x 1)(2 x )dx 解. 0 1 2 由图知(c)为答案. 二. 填空题 1. 函数 Ú ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê = - x dt t F x 1 1 ( ) 2 (x > 0)的单调减少区间______. 解. 0 1 '( ) = 2 - b > 0)之间的图形的面积______. 解. 二椭圆的第一象限交点的 x 坐标为 2 2 a b ab x + = . 所以所求面积为 ˙ ˚ ˘ Í Î È = - - - - Ú Ú + + 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 4 a b ab a b ab b x dx b a a x dx a b s pab = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - + - ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê - + - + + 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 arcsin 2 2 arcsin 2 4 a b ab a b ab b x x b b x b a a x x a a x a b pab = ˙ ˚ ˘ Í Î È + - + - + + + - 2( ) arcsin 2( ) 2 arcsin 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b ab a a b a b a b ab b pab ˙ ˚ ˘ Í Î È + - + = - 2 2 2 2 2 arcsin arcsin a b a a b b pab ab
6-2abl 2 4x2+y2=a2绕x=-b(b>a>0)旋转所成旋转体体积 解 由图知 +b)2-(-a2-y2+b)k 2rl 4bva2-y-dy=8ma b cos'rdt=8ma[+codt -=8ra b.=2ba'r (5)求心脏线p=4(1+和直线=0.=z围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积」 解.极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 V=p(0)sin ede 所以 =3(0m30=3x264(+ cose)'sin 0de 128丌 32丌32丌 (1 +cos0) 16=160丌 计算题 1.在直线x-y+1=0与抛物线y=x2-4x+5的交点上引抛物线的法线,试求由两法线及 连接两交点的弦所围成的三角形的面积 解.由联立方程 y=x-4解得交点坐标(x3,y3)=(12),(x2,n2)=(45) 由y=2x-4求得二条法线的斜率分别为=2km一相应的法线为 (x-1),y-5=-(x-4).解得法线的交点为(x1y1)=(6 已知三点求面积公式为 1x1-x3y1-y x2-x3 y2-y 所以 S y1-y3 2求通过点(1,1的直线y=)中,使得「[x2-f(x)a为最小的直线方程
2 2 arcsin a b a + 令a = ˙ ˚ ˘ Í Î È - -a -a p p 2 ab 2ab = 4paba = ˜ ¯ ˆ Á Ë Ê b a 4pab arctan 4. x 2 + y 2 = a 2绕 x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______. 解. －b a 由图知 Ú = - + - - - + a V a y b a y b dy 0 2 2 2 2 2 2 2p [( ) ( ) ] = Ú Ú Ú + - = = 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 1 cos 2 2 4 8 cos 8 p p p p p dt t b a y dy a b tdt a b a = 2 2 2 2 4 8 p p pa b × = ba (5) 求心脏线r = 4(1+cosq)和直线q = 0, q = 2 p 围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 Ú = b a V r (q )sinqdq 3 所以 Ú Ú = = + 2 0 3 3 64(1 cos ) sin 3 2 ( )sin 3 2 b p a q q q p r q q q p V d d = p p p p q p 16 160 3 32 3 32 0 2 (1 cos ) 4 1 3 128 4 - × + = - + × = 三. 计算题 1. 在直线 x－y + 1=0 与抛物线 4 5 2 y = x - x + 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及 连接两交点的弦所围成的三角形的面积. 解. 由联立方程 Ó Ì Ï = - + - + = 4 5 1 0 2 y x x x y 解得交点坐标( , ) (1 ,2 ) x3 y 3 = , ( , ) (4 ,5 ) x 2 y 2 = 由 y ' = 2 x - 4 求得二条法线的斜率分别为 2 1 1 = x = k , 4 1 4 = - x = k . 相应的法线为 ( 1) 2 1 y - 2 = x - , ( 4) 4 1 y - 5 = - x - . 解得法线的交点为 ) 2 9 ( , ) (6, x1 y 1 = . 已知三点求面积公式为 2 3 2 3 1 3 1 3 2 1 x x y y x x y y S - - - - = ± 所以 4 15 3 3 2 5 5 2 1 2 1 2 3 2 3 1 3 1 3 = ± = - - - - = ± x x y y x x y y S . 2.求通过点(1, 1)的直线 y = f(x)中, 使得Ú - 2 0 2 2 [x f (x )] dx 为最小的直线方程
解.过点(1,1)的直线为 所以 Fk)=L[x 2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2]kx x5 2k k(1-k)x2+(1-k) 8k+=(k2+2k-2)+4k(1-k)+2(1-k) 4.8 + k=2 所求直线方程为y=2x-1 求函数f(x)=[(2-1)e-a的最大值与最小值 解.∫(x)=2x2(2-x2)e-=0,解得 f(0)=0,f(±2)=(2-cd=1+e2,f(x)=(2-0ed=1 所以,最大值f(±√2)=1+e-2,最小值f(0)=0 4.已知圆x-b)2+y2=a2,其中b>a>0,求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积 解.体积 =2×2xxva2-(x-b令x=b=amr1(b+asmm2 e cos 2 tdt 表面积:y=(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 (x-b)2+y2=a2绕y轴旋转相当于(-b)2+x2=a2绕x轴旋转该曲线应分成二枝 y=b± 所以旋转体的表面积 d+2|(b-a2-x2) dx zab =8rabl dt= 4z2ab 5、设有一薄板其边缘为一抛物线(如图),铅直沉入水中 i.若顶点恰在水平面上,试求薄板所受的静压力.将薄板下沉多深压力加倍? ⅱi.若将薄板倒置使弦恰在水平面上,试求薄板所受的静压力.将薄板下沉多深压力加倍? 解.i.由图知抛物线方程为y= 于是
解. 过点(1, 1)的直线为 y = kx + 1－k 所以 F(k) = Ú - - - 2 0 2 2 [x kx (1 k )] dx = Ú - + + - + - + - 2 0 4 3 2 2 2 [x 2kx (k 2k 2)x 2k (1 k )x (1 k ) ]dx = 2 0 3 2 2 2 4 5 (1 ) (1 ) 3 2 2 4 2 5 ˙ ˚ ˘ Í Î È + - + - + - - + x k k x k x k k x x k = 2 2 ( 2 2) 4 (1 ) 2(1 ) 3 8 8 5 32 - k + k + k - + k - k + - k 0 3 8 3 4 (2 2) (4 8 ) 4(1 ) 3 8 F '(k ) = - 8 + k + + - k - - k = k - = k = 2 所求直线方程为 y = 2x－1 3. 求函数 Ú - = - 2 0 ( ) (2 ) x t f x t e dt 的最大值与最小值. 解. ' ( ) 2 (2 ) 0 2 2 2 = - = - x f x x x e , 解得 x = 0, x = ± 2 f (0 ) = 0 , 2 2 0 ( 2) (2 ) 1 - - ± = - = + Ú f t e dt e t , Ú +• - ±• = - 0 f ( ) (2 t)e dt t =1 所以, 最大值 2 ( 2) 1 - f ± = + e , 最小值 f (0 ) = 0 . 4. 已知圆(x－b) 2 + y 2 = a 2 , 其中 b > a > 0, 求此圆绕 y 轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. 解. 体积 Ú Ú - + - = ¥ - - - = + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sin 4 ( sin ) cos p p V p x a x b dx x b a t p b a t a tdt b a b a 令 = 2 2 2 2 0 2 2 2 4 8 ba cos tdt 8 ba p ba p p p p = × = Ú 表面积: y = f(x)绕 x 轴旋转所得旋转体的表面积为 S= Ú + b a 2 f ( x ) 1 f ' ( x )dx 2 p (x－b) 2 + y 2 = a 2绕 y 轴旋转相当于(y－b) 2 + x 2 = a 2绕 x 轴旋转. 该曲线应分成二枝: 2 2 y = b ± a - x 所以旋转体的表面积 Ú- Ú- - + - - - = + - a a a a dx a x a dx b a x a x a S b a x 2 2 2 2 2 2 2 2 2p ( ) 2 p ( ) = ab dt ab a x dx ab a a 2 2 2 2 0 4p 8 p 4 p p = = - Ú- Ú . 5、 设有一薄板其边缘为一抛物线(如图), 铅直沉入水中, i. 若顶点恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? ii. 若将薄板倒置使弦恰在水平面上, 试求薄板所受的静压力. 将薄板下沉多深压力加倍? 解. i. 由图知抛物线方程为 5 3 x y = . 于是
P 1920 55 假设将薄板沉到水中,深为h处,此时薄板的曲线方程为 h y 中=x·2y·dx=6 由题设知 dx=2×1920,即[x dx=640 5 (x-h)2+-(x-h) h 4.h=12 i.由图知抛物线方程为y=3 于是 dx 20-xx 6 1280 假设将薄板沉到水中,深为h处,此时薄板的曲线方程为 20+h-x 20+h-x dx=6 dx 由题设 20+h-x 5dx=2×1280,即 x(20+h-x)2dx=2560 +20 0+h)(20+h h -12+20+h=16.h=18 四.证明题 tf(o)dt 设f(x)为连续正值函数,证明当x≥0时函数d(x)= 单调增加 f(odt 证明.φ'(x) x/0M-M|(x(x=0/0 0 sA(dt f(odt
dx x dp x y dx 5 2 6 2 3 = × × = 1920 0 20 5 2 5 6 5 6 2 20 5 0 2 3 = = × × = Ú dx x x p 假设将薄板沉到水中, 深为 h 处, 此时薄板的曲线方程为 5 3 x h y - = , dx x h dp x y dx x 5 2 6 - = × × = 由题设知 2 1920 5 6 20 = ¥ - Ú h+ h dx x h x , 即 640 5 20 = - Ú h+ h dx x h x ( ) 640 3 2 ( ) 5 2 5 1 20 2 3 2 5 ˙ = ˚ ˘ Í Î È - + - h+ h x h x h 4 3 = h , h = 12 ii. 由图知抛物线方程为 5 20 3 x y - = . 于是 dx x dp x y dx x 5 20 2 6 - = × × = 1280 0 20 (20 ) 3 2 5 120 0 20 (20 ) 5 2 5 6 20 5 6 2 3 2 20 5 0 = - = × × - - × - = Ú p x x dx x x 假设将薄板沉到水中, 深为 h 处, 此时薄板的曲线方程为 5 20 3 h x y + - = , dx h x dp x y dx x 5 20 2 6 + - = × × = 由题设知 2 1280 5 20 6 20 = ¥ + - Ú h+ h dx h x x , 即 (20 ) 2560 5 6 20 2 1 + - = Ú h+ h x h x dx h h h x 20 (20 ) 5 2 5 6 2 5 + × + - h h h h x 20 (20 )(20 ) 3 2 5 6 2 3 + - × + + - －12 + 20 + h = 16, h = 18 四. 证明题 1. 设 f(x)为连续正值函数, 证明当 x ³ 0 时函数 Ú Ú = x x f t dt tf t dt x 0 0 ( ) ( ) f ( ) 单调增加. 证明. 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) 2 0 0 2 0 0 0 > ˙ ˚ ˘ Í Î È - = ˙ ˚ ˘ Í Î È ˙ ˚ ˘ Í Î È - = Ú Ú Ú Ú Ú x x x x x f t dt f x x t f t dt f t dt f x x f t dt tf t dt f x
上述不等式成立是因为 fx)>0, 2.设x)在{ab上连线,在(ab内厂(x)>0,证明(x)≈(x)-(a)在(a,b)内单增 证明假设axb)f(x)-/(a=f(5)(a0说明∫(x)单增,于是∫(2)>f(51) 3.设fx)在[a,b上连续,在(a,b)内可导且∫(x)≤0,求证 F(x) 在(a,b)内也F(x)≤0 证明:方法1:因为f(x)≤0,所以x)单减 f()d+-f(x) [f(x)-f(1)]d0, 所以在(0,1)中存在ξ,使F(2)=0
上述不等式成立是因为 f(x) > 0, t 0 , 证明 x a f x f a x - - = ( ) ( ) f ( ) 在(a, b)内单增. 证明. 假设 a 不等式成立是因为x1 0 说明 f '(x ) 单增, 于是 ' ( ) ( ) 2 1 f x > f x . 3. 设 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且 f '(x ) £ 0 , 求证: Ú - = x a f t dt x a F x ( ) 1 ( ) 在(a, b)内也 F'(x ) £ 0 . 证明: 方法 1: 因为 f '(x ) £ 0 , 所以 f(x)单减. ( ) 1 ( ) ( ) 1 ' ( ) 2 f x x a f t dt x a F x x a - + - - = Ú = Ú - - x a f t dt x a ( ) ( ) 1 2 + Ú - x a f x dt x a ( ) ( ) 1 2 = Ú - 0, 所以在(0, 1)中存在x, 使 F(x) = 0
又因为F(x)= cx+1>0(0<x<1.所以x)单增,所以实根唯 +∴⊥、、0y 5.设a1,a2,…,an为n个实数,并满足a、-?,1)x=0 =0.证明:方程 2n-1 a, cosx+a2 cos 3x+.a, cos(2n 在(0.72内至少有一实根 证明.令F(x)=a1smnx+a,Si3s"“-,~1x 2n-1 则F(0)=0,F +(-1) 0.所以由罗尔定理存在ξ(0 7)使F()=0.即a1c05+a203+…,.os92n-1)=0 五.作图 x2-2x+2 y=(1+x2)e
又因为 1 0 cos 1 ' ( ) 2 = + > x F x (0 < x < 1), 所以 F(x)单增, 所以实根唯一. 5. 设 a1, a2, …, an为 n 个实数, 并满足 0 2 1 ( 1) 3 2 1 1 = - - + + - - n a a a L n n . 证明: 方程 cos cos3 cos(2 1 ) 0 a 1 x + a 2 x +L a n n - x = 在(0, 2 p )内至少有一实根. 证明. 令 F(x ) = 2 1 sin(2 1) 3 sin 3 sin 1 2 - - + + n n x a x a x a L n 则 F(0) = 0, ˜ = ¯ ˆ Á Ë Ê 2 p F 0 2 1 ( 1) 3 2 1 1 = - - + + - - n a a a L n n . 所以由罗尔定理存在x (0 < x < 2 p ), 使 F'(x ) = 0 . 即 cos cos3 cos(2 1 ) 0 a 1 x + a 2 x +L a n n - x = 五. 作图 1. 1 2 2 2 - - + = x x x y 2. 2 (1 ) 2 x y x e - = + 解. 1. 2
