接下来,我们採讨另外一类可用初等解法求解的方 程类型.为此,将一阶正规形微分方程=f(xy)改写成 f(x,y)d-py=0,或更一般地,M(x,y)+Mx,)中=0的 形式.由前面的例子可以看到,把微分方程写成这种形 式的优点在于:既可以把y看成未知函数,x看成自变量; 也可以把x看成未知函数,y看成自变量.即变量x与变 壘y在方程中的地位是对称的,因此也常称形式为 』(xx+x,y)=0的方程为对称形式的微分方程
定义1:对于对称形式的微分方程M(x)dx+M(x,)=0,如果存在可 微二元函数xy),使得Mx)x+M(x,)=0是xy)的全微分,即 d0xy)=M(xy)x+Mxy冲, 则称M(xax+M(x,)=0为怡当方程,或全微分方程 例如,xx+y=0是怡当方程,因为可取Uxy)=x+y; yx+x=0是怡当方程,此时可取U(xy)=y; ydx- xdy 0也是恰当方程,此时可取U(x,y arctan x+y
对于恰当方程,我们有下面的结果: 命题1:如果M(xyax+Mx,)=0为恰当方程,即存在U(x,y)使得 du(r,y)=M(r, y)dx +N(r, y)dy t 则(x,y)=C为方程M(x)dx+M(x,y)=0的通解,这里c为任意常数