§2.3n阶行列式的定义
§2.3 n阶行列式的定义
问题:如何定义n阶行列式? 二阶与三阶行列式的构造 12 ∑(-1) rijn 2/2 小/2 特点:(1)二阶行列式是一个含有2项的代数和; (2)每一项都是两个元素的乘积,这两个元 素既位于不同的行,又位于不同的列 并且展开式恰好是由所有这些可能的乘 积组成; (3)任意项中每个元素都带有两个下标,第 个下标表示元素所在行的位置,第二 个下标表示该元素所在列的位置。当把 第二章行列式
第二章 行列式 问题：如何定义n阶行列式？ 一、二阶与三阶行列式的构造 ( ) ( 1 2 ) 1 2 1 2 11 12 11 22 12 21 1 2 21 22 1 j j j j j j a a a a a a a a a a = − = − 特点：（1）二阶行列式是一个含有 2! 项的代数和； （2）每一项都是两个元素的乘积，这两个元 素既位于不同的行，又位于不同的列， 并且展开式恰好是由所有这些可能的乘 积组成； （3）任意项中每个元素都带有两个下标，第 一个下标表示元素所在行的位置，第二 个下标表示该元素所在列的位置。当把
每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后,每 项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排 列的奇偶性决定,奇排列取负号,偶排列取正号。 对三阶行列式也有相同的特点 12 13 a 22 32a 123+a120231+a1221432-c134231-a12a2143-a142322 ∑(-)y 小J2丿3 小22-3/3 小/2J3 第二章行列式
第二章 行列式 每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每 一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排 列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。 对三阶行列式也有相同的特点 ( ) ( 1 2 3 ) 1 2 3 1 2 3 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 1 2 3 1 j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − = −
特点:(1)共有3!项的代数和; (2)每一项是三个元素的乘积,这三个元素 既位于不同的行又位于不同的列,展开 式恰由所有这些可能的乘积组成 (3)当把每一项乘积的元素按行下标排成自 然顺序后,每一项的符号由这一项元素 的列指标所成的排列的奇偶性决定 、n阶行列式的定义 12 D=1624.为个n阶行列式,它等于所有 第二章行列式
第二章 行列式 特点：（1）共有3！项的代数和； （2）每一项是三个元素的乘积，这三个元素 既位于不同的行又位于不同的列，展开 式恰由所有这些可能的乘积组成； （3）当把每一项乘积的元素按行下标排成自 然顺序后，每一项的符号由这一项元素 的列指标所成的排列的奇偶性决定。 二、n阶行列式的定义 1、 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 为一个n阶行列式，它等于所有
取自不同行不同列的n个元素乘积ana2h2amn的代 数和,这里,2…,是1,2,…,n的一个排列。每 项aa2n…中把行下标按自然顺序排列后,其符号 由列下标排列z…的奇偶性决定。当/2…j是 偶排列时取正号,当2…是奇排列时取负号, 即 ∑(-1) 12…Jn 2j2 nn J2…:Jn 根据定义可知: ●n阶行列式共由n!项组成; ●要计算n阶行列式,首先作出所有可能的位于 不同行不同列元素构成的乘积; ●把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺 第二章行列式 }
第二章 行列式 取自不同行不同列的n个元素乘积 1 2 1 2 n j j nj a a a 的代 数和，这里 1 2 , , , n j j j 是 1, 2, , n 的一个排列。每一 项 1 2 1 2 n j j nj a a a 中把行下标按自然顺序排列后，其符号 由列下标排列 1 2 n j j j 的奇偶性决定。当 1 2 n j j j 偶排列时取正号，当 是 1 2 n j j j 是奇排列时取负号， 即 ( ) ( 1 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 n n n j j j j j nj j j j D a a a = − 根据定义可知： ⚫ n阶行列式共由n!项组成； ⚫ 要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于 不同行不同列元素构成的乘积； ⚫ 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺
序,其符号由列下标所成排列的奇偶性决定; ●n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广 2、例子 例23.1:计算行列式 000 0020 D 0300 4000 (4321 4230320141 24 第二章行列式
第二章 行列式 序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； ⚫ n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。 2、例子 例2.3.1：计算行列式 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 D = ( ) (4321) 14 23 32 41 1 24 a a a a = − =
例232:计算行列式 D a00g 0ce0 0 ∑(-1) r(i应2ki) 1223j30144 小J2J3/4 acfh-adeh+ b deg- bcfg 例23.3:用行列式定义计算 11 第二章行列式
第二章 行列式 例2.3.2：计算行列式 0 0 0 0 0 0 0 0 a b c d D e f g h = ( ) ( 1 2 3 4 ) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 j j j j j j j j j j j j a a a a = − = − + − acfh adeh b bcfg deg 例2.3.3：用行列式定义计算 11 21 22 1 1 2 0 0 0 n n nn a a a D a a a = 11 22 nn = a a a
2 00 n 13 a 例234:设D1= 23 d. 41 42 43 44 122403204114021 and 20410345 是不是四阶行列式D的项? 如果是,应取何符号? a14a224,是,取符号:-1 c231244134是,取符号:-1 第二章行列式
第二章 行列式 11 12 1 22 2 2 0 0 0 n n nn a a a a a D a = 11 22 nn = a a a 例2.3.4：设 11 12 13 14 21 22 23 24 1 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a D a a a a a a a a = 问： 13 21 42 a a a , 12 24 32 41 a a a a , 14 21 32 43 a a a a , 23 12 41 34 a a a a , 是不是四阶行列式 D1 的项？ 如果是，应取何符号？ 14 21 32 43 a a a a , 是，取符号：-1 23 12 41 34 a a a a , 是，取符号：-1
例2.35:设D g h pq s t y 问:(1)dhsy与ptaz是否为D2的项?应取何符号? (2)D2含有t的项有多少?(6项) 注:在一个行列式中,通常所写的元素本身不一定有下标, 即使有下标,其下标也不一定与这个元素本身所在的行 与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号,必须按 照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。 在一般情况下,把n阶行列式中第i行与第列交叉位置上的元 素记为a, 在行列式D中,从左上角到右下角这条对角线称为主对角线 第二章行列式
第二章 行列式 例2.3.5：设 2 a b c d g h p q D s t u v w x y z = 问：（1）dhsy与ptaz是否为 D2 的项？应取何符号？ （2） D2 含有t的项有多少？（6项） 注： 在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标， 即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行 与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按 照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。 在一般情况下，把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元 素记为 ij a 在行列式 D 中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线
定理2.31在n阶行列式D中,项 ai,i,,…an所带的符 号是(-1) z(42…in)+(12…in) 证明:1、交换项an…an…41…an-(1)中任两个元素 与a的位置,不改变τ(…i…i…n)+(1… 的奇偶性。把(1)中a,与41对换后得 Jr IsIs (2) 由于对换改变排列的奇偶性,故 in)与( 的奇偶性互化 TO )与( 故Z tT n)-(3) 与(i1 n)+z(1…1…s…jn)有相同的奇偶性 2、逐次交换(1)中的元素的次序,可以把(1)化为 第二章行列式
第二章 行列式 定理2.3.1 在n阶行列式 D 中，项 1 1 2 2 n n i j i j i j a a a 所带的符 号是 ( ) ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 n n i i i j j j + − 证明：1、交换项 1 1 s s t t n n i j i j i j i j a a a a —(1) 中任两个元素 s s i j a 与 t t i j a 的位置，不改变 1 1 ( ) ( ) s t n s t n i i i i j j j j + 把（1）中 s s i j a 与 t t i j a 对换后得 1 1 t t s s n n i j i j i j i j a a a a —(2) 由于对换改变排列的奇偶性,故 1 ( ) s t n i i i i 与 1 ( ) t s n i i i i 1 ( ) s t n j j j j 与 1 ( ) t s n j j j j 的奇偶性互化， 2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为 故 —(3) 1 ( ) s t n i i i i 1 ( ) s t n + j j j j 与 ( ) i i i i 1 t s n + ( ) j j j j 1 t s n 有相同的奇偶性 的奇偶性