第三节微积分基本公式 巴一、问题的提出 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 四、小结思考题
生一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时 c间间隔T,T2H的一个连续函数,且v(2≥0, 求物体在这段时间内所经过的路程 变速直线运动中路程为∫v()l 另一方面这段路程可表示为(2)-(7) 0=)-x),其中xo=o 上页
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时 间间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t) 0， 求物体在这段时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s 一、问题的提出 ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t)
二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b上连续,并且设x 为4,b上的一点,考察定积分 f(x)dx=,f(t)dt 如果上限x在区间[a,b上任意变动,则对于 每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以 它在ab止上定义了一个函数 记@(x)=∫()d.积分上限函数 上页
设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x 为[a,b]上的一点， x a f (x)dx 考察定积分 = x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . = x a x f t dt 积分上限函数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于 每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以 它在[a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数
积分上限函数的性质 庄定理1如果f(x)在b上连续,则积分上限的函 数①(x)=(M在b上具有导数,且它的导 数是(x)=2f(Mt=f(x)(a≤x≤b) dx a 工工工 证(x+△x)=。f(Mt △Φ=Φ(x+△x)-(x) qp(x) x+△v ∫(t)lt-f(t Oxx+△xbx 上页
a b x y o 定理１ 如果 f ( x)在[a,b]上连续，则积分上限的函 数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在[a,b]上具有导数，且它的导 数是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
生=/oM+(om-om x+△v f(t)dt x 由积分中值定理得 Φ(x) △①=f()Axξ∈|x,x+△x Oa5x+△xb △Φ △Φ =f(2),im =lim∫() △y △x→>0△x△x>0 王△x→0.→x:a(x)=x) 上页
f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], x → 0, → x f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x
庄补充如果()连续,0(x)、(可导 中则F(x)=”/(t的导数F(x)为 d rb(x) f(t)dt=f[b(xlo(x)fla(x)a'(x) 证F(x 0 b(x) If(tdt a(x 工工 So f(tMdt-J f(dt, F(x)=fb(x)]o'(x)fa(x)Ja(x) 王页下
如果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F( x)为 补充 = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 证 F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x
dt 例1求lm0 2 x→>0 2x 2e 上页
例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 解 − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 0 0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则
例2设∫(x)在(-0,+∞)内连续,且f(x)>0 c证明函数F(x)=m 5f(odt 在(0,+∞)内为单调增 f(tdt 加函数 d cx 工工工 证(O)=x(x a!f()=f(x), F(x)= xf(x)So f(tdt-f(x)ds(o)dt lo f(odt 上页
例 2 设 f (x)在(−,+)内连续，且 f ( x) 0. 证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,+)内为单调增 加函数. 证 x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x), x f t dt dx d 0 ( ) = f (x), ( ) 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x
P(以J(x)(x-)f()d Ur rode :/x)>0,(x>0)「(t×0, (x-0)f()>0,:(x-0)f()t>0, F(x)>0(x>0) 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数 上页
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt (x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数
例3设f(x)在0,1上连续,且f(x)0, F(x)在0,1上为单调增加函数F()=-10, 所以F(x)=0即原方程在0,1上只有一个解 上页
例 3 设 f (x)在[0,1]上连续，且f (x) 1.证明 2 ( ) 1 0 x − f t dt = x 在[0,1]上只有一个解. 证 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − − F x x f t dt x f (x) 1, F(x) = 2 − f (x) 0, F(x)在[0,1]上为单调增加函数. F(0) = −1 0, = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt = − 1 0 [1 f (t)]dt 0, 所以F(x) = 0即原方程在[0,1]上只有一个解. 令