第五节定积分的分部积分法 四一、分部积分公式 二、小结思考题
庄一、分部积分公式 设函数u(x)、v(x)在区间[a,b上具有连续 b 导数,则有dh=[]-Jwa. 定积分的分部积分公式 推导(a)=m+mn,∫(m)=[, LuvI =5u'vdx +uv'dr ∴」h=l-」wm 上页
设函数u(x)、v( x)在区间a,b上具有连续 导数，则有 = − b a b a b a udv uv vdu. 定积分的分部积分公式 推导 (uv) = uv + uv , ( ) , b a b a uv dx uv = , = + b a b a b uv a u vdx uv dx . = − b a b a b a udv uv vdu 一、分部积分公式
例1计算 arcsin xd 0 解令u= arcsinx,鄱=dx, 则m= v= VI-x C arcsinxdx=[xarcsinxJo xdx 1兀1 ,d(1-x2) 2620、1-x √3 12 12 上页
例1 计算 arcsin . 2 1 0 xdx 解 令 u = arcsin x, dv = dx, , 1 2 x dx du − = v = x, 2 1 0 arcsin xdx 2 1 = xarcsin x 0 − − 2 1 0 2 1 x xdx 2 6 1 = (1 ) 1 1 2 1 2 0 2 2 1 d x x − − + 12 = 2 1 0 2 + 1− x 1. 2 3 12 = + − 则
例2计算 1+cos 2x 解1+cos2x=2cos2x, xdx d(tanx 0 1+cos 2x Jo 2cos'x Jo 2 Lxtanxo-2Jo tan xdx 2 πIn2 ==-LInsec x]o8 4 82 上页
例2 计算 解 . 1 cos 2 4 0 + x xdx 1 cos2 2cos , 2 + x = x + 4 0 1 cos 2x xdx = 4 0 2 2cos x xdx d( x) x tan 2 4 0 = 4 0 tan 2 1 = x x tan xdx 2 1 4 0 − 4 0 lnsec 2 1 8 − = x . 4 ln2 8 − =
例3计第2十xy 解 1 In(l+x 0(2+x)2 dx=-f In(1+x)d 2+x In(l+x) dIn(1+x) L2+x1002+x 加2 十 dx 3 2+x1+x 1+x2+x In 2 +n(1+x)-m(2+x)b=5lm2-ln3. 3 3
例3 计算 解 . (2 ) 1 ln(1 ) 0 2 + + dx x x + 1 + 0 2 (2 ) ln(1 ) dx x x + = − + 1 0 2 1 ln(1 ) x x d 1 2 0 ln(1 ) + + = − x x + + + 1 0 ln(1 ) 2 1 d x x 3 ln2 = − dx x x + + + 1 0 1 1 2 1 x + x − + 2 1 1 1 1 0 ln(1 ) ln(2 ) 3 ln2 = − + + x − + x ln2 ln3. 3 5 = −
sint 例4设f(x)= d,求xf(x)d t 解因为没有初等形式的原函数, 无法直接求出f(x),所以用分部积分法 y(x)=2/(x)(x2) 2Lf(x)5 xdf(x) 2f)-「x3r(xte 2 2 0 上页
例 4 设 求 解 = 2 1 , sin ( ) x dt t t f x ( ) . 1 0 xf x dx 因为 t sint没有初等形式的原函数， 无法直接求出 f (x)，所以采用分部积分法 10 xf ( x )dx = 10 2 ( ) ( ) 21 f x d x 10 2 ( ) 21 = x f x − 10 2 ( ) 21 x df x ( 1 ) 21 = f − 10 2 ( ) 21 x f x dx
f(x)=sra,f()=∫ sint dt=0. 2 SIn 2sin x f(x)=2·2x= hy(x)k=(-1 2Jox'f'(x)dr 2xsinx dx 2 sinx dx 2 JO aLcos x o=(cos 1-1). 2 上页
= 2 1 , sin ( ) x dt t t f x , 2sin 2 sin ( ) 2 2 2 x x x x x f x = = 1 0 xf (x)dx (1) 2 1 = f − 1 0 2 ( ) 2 1 x f x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x x dx = − 1 0 2 2 sin 2 1 x dx 1 0 2 cos 2 1 = x (cos1 1). 2 1 = − 0, sin (1) 1 1 = dt = t t f
例5证明定积分公式 n=sim”xt= cos"xdx n-1n-331兀 n为正偶数 nn-2422 n-1n-342 大于1的正奇数 n n-2 53 证设H=sin"x,=sinx, du=(n-Isin"xcos xdx, v=-cosx, 上页
例5 证明定积分公式 = = 2 2 0 0 I sin xdx cos xdx n n n − − − − − − = n n n n n n n n n n , 3 2 5 4 2 1 3 , 2 2 1 4 3 2 1 3 为正偶数 为大于1的正奇数 证 设 sin , 1 u x n− = dv = sin xdx, ( 1)sin cos , 2 du n x xdx n− = − v = −cos x
L=sin-xcosx+(n-D sin"-x cos xdx 0 0 -sIn In=(n-1"-2xdx-(n-1fsinxdx =(n-1)ln2-(n-1)ln n="-n2积分L关于下标的递推公式 n n-3 n-2 n-2n-4 ,直到下标减到0或1为止 上页
I x x n x xdx n n n − − = − + − 2 2 0 2 2 0 1 sin cos ( 1) sin cos x 2 0 1− sin I n xdx n xdx n n n = − − − 2 − 2 0 0 2 ( 1) sin ( 1) sin n n (n 1)I (n 1)I = − −2 − − 2 1 − − n = n I n n I 积分 In 关于下标的递推公式 2 4 2 3 − − − − n = n I n n I , 直到下标减到0或1为止
2m-12m-353 2m S 2m2m-2642 0 (m=1,2 2m2m-2642 2m+2m+12m-17531 o=Ld= 1=「sinx=1, 2 0 工工工 于是2m= 2m-12m-3531兀 2m2m-26422 2m2m-2642 2m+1 2m+12m-1753 上页
, 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 0 I m m m m I m − − − = , 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 I m m m m I m − − + + = (m = 1,2, ) , 2 2 0 0 = = I dx sin 1, 2 0 1 = = I xdx , 2 2 1 4 3 6 5 2 2 2 3 2 2 1 2 − − − = m m m m I m . 3 2 5 4 7 6 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − + + = m m m m I m 于是