第四节定积分的换元法 、换元公式 小结思考题
、换元公式 定理假设 (1)f(x)在4,b上连续 上(2)函数x=q()在a,上是单值的且有连续 导数; 工工工 (3)当在区间a,上变化时,x=q(t)的值 姓a,b上变化,且p)=a、(月)=b, 则有f(x)kx=0n(O)( 上页
定理 假设 （1） f ( x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( ) . 一、换元公式
证设F(x)是f(x)的一个原函数, f()x= F(b-F(a), ①(t)=F|(), Φ()=" tt=(xm’(t)= ∫|p(t)p'(t), Φ()是∫|q(t)(t)的一个原函数 ∫|p(t)p(t)dt=Φ(β)-Φ(o) c 上页
证 设F(x)是 f (x)的一个原函数， f (x)dx F(b) F(a), b a = − (t) = F[(t)], dt dx dx dF (t) = = f (x)(t)= f [(t)](t), [( )]( ) = () − (), f t t dt (t)是 f[(t)](t)的一个原函数
qp(a)=a、q(6)=b, 4(B)-q(a)=Flo(B)l-flo(a) =F(b)-F(a), b f(x)k=F(b)-F(a)=()-(a) ∫|q(t)lp(t)ln 注意当a>B时,换元公式仍成立 上页
() = a、( ) = b, ( ) − () = F[( )]− F[()] = F(b) − F(a), f (x)dx F(b) F(a) b a = − = ( ) − () f [ (t)] (t)dt. = 注意 当 时，换元公式仍成立
应用换元公式时应注意 (1)用x=9()把变量x换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出∫|q(t)lp(t)的一个原函数Φ(t)后,不 必象计算不定积分那样再要把Φ(t)变换成原 变量κ的函数,而只要把新变量的上、下限 分别代入Φ()然后相减就行了 上页
应用换元公式时应注意: （1） 求出 f [(t)](t)的一个原函数(t)后，不 必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x 换成新变量t 时，积分限也 相应的改变
例1计算「 cosxsin xdx 解令t=cosx,t=- sin xdx, x=2→t=0, x=0→t=1 cos xsin xdx 0 6 = 6。6 上页
例1 计算 cos sin . 2 0 5 x xdx 解 令 t = cos x, 2 x = t = 0, x = 0 t = 1, 2 0 5 cos x sin xdx = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = dt = −sin xdx
A例2计算nsin:x- sin xdx. 解∵f(x)=sin3x- sinx=cosx(sinx)2 T T sin'x-sin xdx=" cos x(sin x) )2dx 0 0 cosxisinx 2dx cos x )2dx 0 π元2 2(sinx)dsix-「r(s T sInx2a sinx 月0 =sInx sIn 5 0 5 上页
例2 计算 解 sin sin . 0 3 5 x − xdx f x x x 3 5 ( ) = sin − sin ( )2 3 = cos x sin x − 0 3 5 sin x sin xdx ( ) = 0 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( ) − 2 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 sin x d sin x ( ) − 2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2 = x ( ) − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =
d x c例3计算 x、Inx (1-Ix) 解原式=」 d(nx) e√nx(1-nx) 3 ∫nx(a-hmx)=2 d√lnx 1-(√mx arcsin(Inx Dle 6 上页
例3 计算 解 . ln (1 ln ) 4 3 − e e x x x dx 原式 − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x 4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6 =
王 例4计算∫ dx.(>0) x+√a-x 庄解令x=asmn,a=acb, T V=a→t= x=0→t=0, 2 T 原式=[2 a cos t dt Jo asin t+√a2(1-sin2) cos t cost→sint dt 21+。dr Jo sint+cost 2 Jo sint+ cos t T +-lnsint+ cos t 222 4 上页
例4 计算 解 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, dx = acostdt, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 =
庄例5当(x)在44上连续,且有 ①f(x)为偶函数,则 ∫。f(x)dx=2(x)dk; ②f(x)为奇函数,则f(x)tx=0 证∫,∫(x)dx= 0 f(x)dx+f(x)dx, 0 在∫(x)dc中令x=-1, 上页
例 5 当 f (x)在[−a, a]上连续，且有 ① f (x)为偶函数，则 − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ； ② f (x)为奇函数，则− = a a f (x)dx 0. 证 ( ) ( ) ( ) , 0 0 − − = + a a a a f x dx f x dx f x dx 在− 0 ( ) a f x dx中令x = −t
