§2.7 Gramer法则
§2.7 Gramer法则
行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用, 对于二元一次和三元一次方程组,当方程组的系数行列式不 为0时,方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组,相应 的结论也成立,这就是下面要介绍的 Gramer法则。 设n元一次线性方程组为 x1+a12X+…+a1nX b al1X1+a2x+…+a2,xn= b2 anx+an2x2+.+amiN=b b.∈F 12 称D 为这个方程组的系数行列式。 第二章行列式
第二章 行列式 行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要应用， 对于二元一次和三元一次方程组，当方程组的系数行列式不 为0时，方程组有唯一的公式解。对于n元一次方程组，相应 的结论也成立，这就是下面要介绍的Gramer法则。 设n元一次线性方程组为 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = —（1） , , , 1, 2, , ij i a b F i j n = 称 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 为这个方程组的系数行列式
把D中的第j列换成常数列b,b2,…b后所得行列式记为 D=bA,+b2421+…+b,An,j=1,2 定理2.7.1( Gramer法则): 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0,则这个方程组 D D 有唯一解,其解为:x1 D D (2) 其中D,是把D中的第列元素换成常数项h,b2…,bn所得的 行列式,j=1,2,…,n 第二章行列式
第二章 行列式 把D中的第j列换成常数列 1 2 , , , n b b b 后所得行列式记为 11 1 1 1 1 1 1 21 2 1 2 2 1 2 1 1 1 j j n j j n j n nj n nj nn a a b a a a a b a a D a a b a a − + − + − + = 则 1 1 2 2 , 1, 2, , D b A b A b A j n j j j n nj = + + + = 定理2.7.1 （Gramer法则）： 如果线性方程组（1）的系数行列式 D 0 有唯一解，其解为： ，则这个方程组 1 2 1 2 , , , n n D D D x x x D D D = = = —（2） 其中 Dj 是把D中的第j列元素换成常数项 1 2 , , , n b b b 所得的 行列式， j n =1, 2,
该定理包括三个结论: ●方程组在D≠0时有解; ●解是唯一的; 解由公式(2)给出。 这三个结论相互之间有联系,因此证明的步骤是: 1、把(2)代入方程组,验证它是方程组(1)的解; 2、假设方程组有解,则它的解必可由公式(2)给出。 证:把方程组简写成∑anx1=b2=12…,n 首先证明公式(2)确是方程组(1)的解。把 ,=1,2,…,n代入第个方程得: D ∠ DD 第二章行列式
第二章 行列式 该定理包括三个结论： ⚫ 方程组在 D 0 时有解； ⚫ 解是唯一的； ⚫ 解由公式（2）给出。 这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是： 1、把（2）代入方程组，验证它是方程组（1）的解； 2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（2）给出。 证：把方程组简写成 1 , 1, 2, , n ij j i j a x b i n = = = 首先证明公式（2）确是方程组（1）的解。把 , 1, 2, , j j D x j n D = = 代入第i个方程得： 1 1 1 n n j ij ij j j j D a a D = = D D =
D4(4+41+…+b4) D4a(b4+4+x+)+.24+b4+…+b42) +…+an(的A,+b2A+…+b4m) D [b(an41+a242+…+anAn)+…+b(an141+a212+…+an41) +…+bn(a1An1+ +∴+a.A -bD D b.i=1.2 因此 =1,2,…,n确是方程组(1)的解 D 再证方程组(1)的解必由公式(2)给出。设 x=k1,x2=k2,…xn=kn是方程组(1)的任一解, 第二章行列式
第二章 行列式 ( 1 1 2 2 ) 1 1 n ij j j n nj j a b A b A b A D = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 21 1 2 1 12 2 22 2 1 1 2 2 1 i n n i n n in n n n nn a b A b A b A a b A b A b A D a b A b A b A = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 11 2 12 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 i i in n i i i i i in in n i n i n in nn b a A a A a A b a A a A a A D b a A a A a A = + + + + + + + + + + + + + 1 i b D D = , 1, 2, , i = = b i n 因此 , 1, 2, , j j D x j n D = = 确是方程组（1）的解。 再证方程组（1）的解必由公式（2）给出。设 1 1 2 2 , , , n n x k x k x k = = = 是方程组（1）的任一解
则有∑a=b,=1,2…,n—(3) 用D中第列元素a1na2y2…,an的代数余子式Ay,42y…,A 依次乘以(3)中每个方程得 S4∑= b.A..i=1.2 把这n个方程相加得:∑4∑,=∑4=D 而∑4∑4k=∑[4(a++…+a) A,(a1k+a12k2+…+ank)+A2,(a2k1+a2k2 +An(ank1+an2k2+… k(a141+a2142 )+…+k,(a,4+a2/4+…+anAn) +∴+k +a …+a n--1J n212j 第二章行列式
第二章 行列式 则有 1 , 1, 2, , n ij j i j a k b i n = = = —（3） 用D中第j列元素 1 2 , , , j j nj a a a 的代数余子式 1 2 , , , A A A j j nj 依次乘以（3）中每个方程得 1 1 1 , 1, 2, , n n n ij ij j i ij i j i A a k b A i n = = = = = 把这n个方程相加得： 1 1 1 n n n ij ij j i ij j i j i A a k b A D = = = = = 而 ( 1 1 2 2 ) 1 1 1 n n n ij ij j ij i i in n i j i A a k A a k a k a k = = = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 j n n j n n nj n n nn n A a k a k a k A a k a k a k A a k a k a k = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 11 1 21 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 j j n nj j j j j j nj nj n n j n j nn nj k a A a A a A k a A a A a A k a A a A a A = + + + + + + + + + + + + +
k 故 k Os=1.2.……,n 2x1+x2-5x2+x1=8 例271解线性方程组x1-3x2-6x1=9 2x2-x3+2x4=-5 x1+4x2-7x3+6x4=0 解:由于方程组的系数行列式D 14-76 第二章行列式
第二章 行列式 例2.7.1 解线性方程组 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 2 5 8 3 6 9 2 2 5 4 7 6 0 x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = − + − + = 解：由于方程组的系数行列式 2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − , 1, 2, , j = = k D j n , 1, 2, , j j D k j n D 故 = =
2-12 02-12 7-712 7-7-2 7-712 =6+21=27≠0 方程组有唯一解 由于D=81,D2=-108,D3=-27,D4=27 方程组的解是x1=3,x2=-4,x3=-1,x1=1 注意:克莱姆法则只适用于方程个数与未知量个数相等,且系 数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知 量个数不相等或虽相等,但系数行列式等于零,克莱姆 法则失效 第二章行列式
第二章 行列式 0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12 − − − = − − 7 5 13 2 1 2 7 7 12 − = − − − 3 5 3 0 1 0 772 − − = − − −−− 3 3 7 2 − = − − = + = 6 21 27 0 方程组有唯一解。 由于 1 2 3 4 D D D D = = − = − = 81, 108, 27, 27 方程组的解是 1 2 3 4 x x x x = = − = − = 3, 4, 1, 1 注意：克莱姆法则只适用于方程个数与未知量个数相等，且系 数行列式不等于零的线性方程组。如果方程个数与未知 量个数不相等或虽相等，但系数行列式等于零，克莱姆 法则失效
如果在线性方程组(1)中常数项全为零,即有 a1x+a2x2+…+a1nxn=0 21x1+ 0 (4) a x taxt.ta x=0 称方程组(4)为齐次线性方程组,这种方程组显然有解: x=0,=1,2,…,n称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的 解,则称为非零解。我们关心方程组(4)什么时候有非零解。 定理2.72:若齐次线性方程组(4)的系数行列式D≠0, 则方程组(4)只有零解。 证:由 Gramer法则,方程组(4)只有唯一解:x D 但由于 D.=0.d=1.2 0,讠=1,2,…,n 第二章行列式
第二章 行列式 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 如果在线性方程组（1）中常数项全为零，即有 —（4） 称方程组（4）为齐次线性方程组，这种方程组显然有解： 0, 1, 2, , i x i n = = 称其为零解。齐次线性方程组如果有其他的 解，则称为非零解。我们关心方程组（4）什么时候有非零解。 定理2.7.2：若齐次线性方程组（4）的系数行列式 D 0 ， 则方程组（4）只有零解。 证：由Gramer法则，方程组（4）只有唯一解： , i i D x D = 但由于 0, 1, 2, , D i n i = = 0, 1, 2, , i = = x i n
推论:齐次线性方程组(4)有非零解的充要条件是其系数行 列式等于零 例272当取何值时,齐次线性方程组 1x1+x2+x3=0 x1+x2+x3=0 有非零解。 x+x2+x3=0 1-21- 21-2 解:D 04-11-2 02--22 当λ=1或=-2时,方程组有非零解 第二章行列式
第二章 行列式 推论：齐次线性方程组（4）有非零解的充要条件是其系数行 列式等于零。 例2.7.2 当 取何值时，齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 0 x x x x x x x x x + + = + + = + + = 有非零解。 解： 1 1 1 1 1 1 D = 2 0 1 1 0 1 1 1 1 − − = − − 2 2 1 1 0 2 − − = − − − ( ) ( ) 2 = − − + 1 2 当 =1 或 = −2 时，方程组有非零解