第二章矩阵 填空题 1.设ax12ax2ax32a,B均为4维向量,A=[a1,ax2,a3,a],B=[a1a2a3B],且4=2,Bl=3,则 AA-3B 解14-3BF2a1-2a2-23a-3B=-8×1a2a3a-3B =-8x a、P)=-8(4|-3|BD=56 2.若对任意n×1矩阵X,均有AX=0,则A= 解假设A=[a1…an],a是A的列向量对于j=1,2,…,m,令x=1,第/个元 素不为0.所以 an]1=a=0=12,…,m)所以A=0 0 3.设A为m阶方阵,存在非零的m×n矩阵B,使AB=0的充分必要条件是 解.由AB=0,而且B为非零矩阵,所以存在B的某个列向量b为非零列向量,满足Ab=0 即方程组AX=0有非零解.所以=0, 反之:若4=0,则AX=0有非零解.则存在非零矩阵B,满足AB=0 所以,AB=0的充分必要条件是=0 4.设A为n阶矩阵,存在两个不相等的n阶矩阵B,C,使AB=AC的充分条件是 解.B≠C且AB=AC台AB-C)=0且B-C非零剑A=0 b2 a1b1ab2…a1bn 解.:[b2…b] 2b, a2b2 ab. a b 2 b 6.设矩阵A B=A2-3A+2E,则B=
第二章 矩阵 一. 填空题 1. 设a1, a2, a3, a, b均为 4 维向量, A = [a1, a2, a3, a], B = [a1, a2, a3, b], 且|A| = 2, |B| = 3, 则 |A－3B| = ______. 解. | 3 | 2a 2a 2a a 3b A - B = - 1 - 2 - 3 - = 8 a a a a 3b - ¥ 1 2 3 - = a a a a 1 2 3 - 8 ¥ ( - 3a1 a 2 a 3 b ) = - 8(| A | - 3 | B |) = 56 2. 若对任意 n×1 矩阵 X, 均有 AX = 0, 则 A = ______. 解. 假设 [ ] A = a1 L a m , ai 是 A 的列向量. 对于 j = 1, 2, …, m, 令 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È = 0 1 0 M M X j , 第 j 个元 素不为 0. 所以[ ] a1 L a m 0 0 1 0 = = ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È a j M M (j = 1, 2, …, m). 所以 A = 0. 3. 设 A 为 m 阶方阵, 存在非零的 m×n 矩阵 B, 使 AB = 0 的充分必要条件是______. 解. 由 AB = 0, 而且 B 为非零矩阵, 所以存在 B 的某个列向量 bj 为非零列向量, 满足 Abj = 0. 即方程组 AX = 0 有非零解. 所以|A| = 0; 反之: 若|A| = 0, 则 AX = 0 有非零解. 则存在非零矩阵 B, 满足 AB = 0. 所以, AB = 0 的充分必要条件是|A| = 0. 4. 设 A 为 n 阶矩阵, 存在两个不相等的 n 阶矩阵 B, C, 使 AB = AC 的充分条件是______. 解. B ¹ C且AB = AC ¤ A(B - C) = 0 且 B - C非零 ¤ | A | = 0 5. [ ] 1 2 4 2 1 b b b a a a n L M ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È = ______. 解. [ ] ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È = ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a L L L L L L L L M 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 4 2 1 6. 设矩阵 2 1 , 3 2 , 2 3 1 1 - = - + ˙ ˚ ˘ Í Î È - A = B A A E 则B = ______
2323 B=A2-3A+2E=-1-41「3-3 87 69 B1「0110 B|2L-2 7.设n阶矩阵A满足A2+2A+3E=0,则A 解.由A2+2A+3E=0,得A(A+2E)=-3E.所以A‖A+2EF-3E|0,于是A可 逆由A2+2A+3E=0,得A+2E+3A=0,A=-(A+2E) 8.设A=020则(A+3E)(42-9E)= 001 1011「1011「102 解.A2=0201020=040 001001001 A2-9E=0-50 A+3E=050 050:010|→050:010050:010→ 004:00 001:00 010:0 0,(A+3E)=0 0 001 4 1 0 16「-80 20 (A+3E)(A-9E)-0 1
解. = 2 A ˙ ˚ ˘ Í Î È - 2 3 1 1 ˙ ˚ ˘ Í Î È - 2 3 1 1 = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 8 7 1 4 B A 3 A 2 E 2 = - + = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 8 7 1 4 － ˙ ˚ ˘ Í Î È - 6 9 3 3 + ˙ ˚ ˘ Í Î È 0 2 2 0 = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 2 0 2 1 2 1 | | * 1 = = - B B B ˙ ˚ ˘ Í Î È - 2 - 2 0 1 = ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Î È -1 -1 2 1 0 7. 设 n 阶矩阵 A 满足 2 1 2 3 0 , - A + A + E = 则A = ______. 解. 由 2 3 0 , 2 A + A + E = 得 A(A + 2 E) = -3 E . 所以| A || A + 2 E | =| -3 E | ¹ 0 , 于是A可 逆. 由 2 3 0 , 2 A + A + E = 得 ( 2 ) 3 1 2 3 0, 1 1 A + E + A = A = - A + E - - 8. 设 , ( 3 ) ( 9 ) 0 0 1 0 2 0 1 0 1 1 2 A A + E A - E ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 则 - =______. 解. = 2 A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 2 0 1 0 1 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 2 0 1 0 1 = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 4 0 1 0 2 A - 9 E = 2 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 8 0 5 0 8 0 2 , A + 3E = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 4 0 5 0 4 0 1 Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 4 0 5 0 4 0 1 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È 4 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 5 0 4 0 1 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - 4 1 0 0 0 1 0 4 1 1 0 0 0 1 0 5 0 4 0 0 M M M ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - 4 1 0 0 0 5 1 0 16 1 0 4 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 M M M , ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - + = - 4 1 0 0 0 5 1 0 16 1 0 4 1 ( 3 ) 1 A E ( 3 ) ( 9 ) 1 2 A + E A - E - = ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - 4 1 0 0 0 5 1 0 16 1 0 4 1 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 8 0 5 0 8 0 2 = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 2 0 1 0 2 0 1
设A=-2 (-2A) 解.|A|=-3-12+8+8+6-6 2-1-2:010 0-32 2 0→0 0 07 00 333 100 2|→>010 2-5-2|→ 00 001 A A A'=A|A-,(A') (-2A)=-2A|(-2A)=(-2)31A|2=4A 12 [(-2A)']=(4A) A 1 2-1-2 10.设矩阵s1100 则A的逆矩阵A 122
9. 设 , _______, ( ) ______, [( 2 ) ] ______. 4 3 3 2 1 2 1 1 2 1 * 1 * 1 = = - = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - = - - - A 则 A A A 解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1 Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 3 3 2 1 2 1 1 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 4 0 1 2 1 0 1 0 0 0 7 5 0 3 2 1 1 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - - - 4 0 1 0 3 1 3 2 1 0 0 0 7 5 3 2 0 1 1 1 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - - - 1 3 7 3 2 0 3 1 3 2 0 3 1 3 1 3 1 0 0 3 2 0 1 3 4 1 0 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - 1 3 7 3 2 2 5 2 3 9 4 3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - - - 2 7 3 2 5 2 3 9 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 M M M ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - = - - - - 2 7 3 2 5 2 3 9 4 1 A = = = = - - - | | , | | , ( ) | | * 1 * 1 * 1 A A A A A A A A A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 4 3 3 2 1 2 1 1 2 1 1 * 1 3 4 ( 2 ) ( 2 ) | 2 | ( 2 ) ( 2 ) | | - - - = - - = - - = - A A A A A A 4 1 4 [( 2 ) ] (4 ) * 1 1 1 - = = = - - - A A A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 4 3 3 2 1 2 1 1 2 10. 设矩阵 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - = 1 1 1 3 1 2 2 5 1 1 0 0 2 1 0 0 A , 则 A 的逆矩阵 -1 A = ______. 解. ˙ ˚ ˘ Í Î È - - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 1 1 1 1 2 1 1 , ˙ ˚ ˘ Í Î È - - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 2 3 5 1 3 2 5 1
使用分块求逆公式cBL-BCr1B 19-30 -121-1|-12-711 100 所以=/-1200 19-303-5 711-12 单项选择题 1.设A、B为同阶可逆矩阵,则 (A)AB= BA (B)存在可逆矩阵P,使P-1AP=B (C)存在可逆矩阵C,使CAC=B(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B 解.因为A可逆,存在可逆P4,Q使PAQ4=E 因为B可逆,存在可逆P,Q使PBQB=E 所以PAQ4=PBQ于是PP44QQB=B 令P=PP4,Q=QQ.(D)是答案 A 0 2.设A、B都是n阶可逆矩阵,则2 等于 0B- (A)(-2)2|A‖Br(B)(-2)|A‖Br(C)-2|A‖B|(D)-2|A‖Brl A 0 (-2)2|A|Br1.(A)是答案 0 B 3.设A、B都是n阶方阵,下面结论正确的是 (A)若A、B均可逆,则A+B可逆(B)若A、B均可逆,则AB可逆 (C)若A+B可逆,则A-B可逆 D)若A+B可逆,则A,B均可逆 解.若A、B均可逆,则(AB)=BA1.(B)是答案 4.设n维向量a=(,0,…,0,),矩阵A=E-aa,B=E+2aa其中E为n阶单位 矩阵,则AB= (A)0 (C)E( D)E+a'a
使用分块求逆公式 ˙ ˚ ˘ Í Î È - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - - - - 1 1 1 1 1 0 0 B CA B A C B A － ˙ ˚ ˘ Í Î È - - ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 1 1 1 2 1 2 3 5 ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 1 2 1 1 = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - 7 11 19 30 所以 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - - = - 7 11 1 2 19 30 3 5 1 2 0 0 1 1 0 0 1 A 二. 单项选择题 1. 设 A、B 为同阶可逆矩阵, 则 (A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵 P, 使 P AP = B -1 (C) 存在可逆矩阵 C, 使C AC B T = (D) 存在可逆矩阵 P 和 Q, 使 PAQ = B 解. 因为 A 可逆, 存在可逆 PA ,Q A 使PA AQ A = E . 因为 B 可逆, 存在可逆 PB , Q B 使PB BQ B = E . 所以 PA AQ A = PB BQ B . 于是 PB PA AQ A Q B = B -1 - 1 令 P PB PA - 1 = , - 1 Q = Q A Q B . (D)是答案. 2. 设 A、B 都是 n 阶可逆矩阵, 则 ˙ ˚ ˘ Í Î È - -1 0 0 2 B A T 等于 (A) 2 1 ( 2 ) | || | - - A B n (B) 1 ( 2 ) | || | - - A B n (C) 2 | A || B | T - (D) 1 2 | || | - - A B 解. 2 1 1 ( 2 ) | || | 0 0 2 - - ˙ = - ˚ ˘ Í Î È - A B B A n T . (A)是答案. 3. 设 A、B 都是 n 阶方阵, 下面结论正确的是 (A) 若 A、B 均可逆, 则 A + B 可逆. (B) 若 A、B 均可逆, 则 AB 可逆. (C) 若 A + B 可逆, 则 A－B 可逆. (D) 若 A + B 可逆, 则 A, B 均可逆. 解. 若 A、B 均可逆, 则 1 1 1 ( ) - - - AB = B A . (B)是答案. 4. 设 n 维向量 ) 2 1 ,0, , 0, 2 1 a = ( L , 矩阵 a a T A = E - , a a T B = E + 2 其中 E 为 n 阶单位 矩阵, 则 AB = (A) 0 (B) －E (C) E (D) a a T E +
ARAB=(E-a'a)(E+2aa)=E-a'a+2a'a-2aaa'a E.(aa=)(C)是答案 010 5.设A P=100,设 有P2P1A=B,则P2= 101 001 解.P1A表示互换A的第一、二行.B表示A先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第 00 行乘以(1)加到第三行.所以P2=010B)是答案 6.设A为n阶可逆矩阵,则(-A)等于 (C)(-1) (D)(-1yh 解(-A)=|-4|(-A)=(-1)”|A|,A=(-1)”1.(D)是答案 7.设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A是A的伴随矩阵,则 )(A)=AP-1 )(A=AA (C)(A=A- A (D)(A)=A-A 解.A'=A|A-1 (A=(AA=AA(AA=AJAJA A=A-A (C)是答案 8.设A为m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为n,矩阵B=AC的秩为;则 (A)r>II (B)r< (C)r=n1(D)r与r1的关系依C而定 解.B=Anx2Cnn,r(C)=n,所以 r=r(Acr(A+r(C)-n=r 又因为A=BC-,于是 r(BC-)≥r(B)+r(C-) 所以F1=P(C)是答案
解. AB = ( a a) T E - ( 2 a a) T E + = a a T E - + 2a a T －2a a T a a T = E. ) 2 1 (a a = T (C)是答案. 5. 设 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A , ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - = 31 21 32 22 33 23 11 12 13 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B , ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 P1 , 设 有 P2P1A = B, 则 P2 = (A) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 1 0 1 0 1 0 1 0 0 (B) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 1 0 1 0 1 0 1 0 0 (C) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 0 1 0 1 0 1 (D) ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 0 0 1 0 1 0 1 0 1 解. P1A 表示互换 A 的第一、二行. B 表示 A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一 行乘以(－1)加到第三行. 所以 P2 = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 1 0 1 0 1 0 1 0 0 .(B)是答案. 6. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 则(－A) *等于 (A) －A * (B) A* (C) (－1)nA * (D) (－1)n－1A * 解. (－A) * = 1 1 1 * ( 1 ) ( 1 ) 1 | A | ( A) ( 1 ) | A | A A - n - n- = - - - - = - . (D)是答案. 7. 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n ³ 2), A*是 A 的伴随矩阵, 则 (A) A A A * * n 1 ( ) | | - = (B) A A A * * n 1 ( ) | | + = (C) A A A * * n 2 ( ) | | - = (D) A A A * * n 2 ( ) | | + = 解. * 1 | | - A = A A A A A A A A A A A A A A A * * 1 * 1 1 1 n 1 1 n 2 ( ) (| | ) || | | (| | ) | | | | | | | | - - - - - - - = = = = (C)是答案. 8. 设 A 为 m×n 矩阵, C 是 n 阶可逆矩阵, 矩阵 A 的秩为 r1, 矩阵 B = AC 的秩为 r, 则 (A) r > r1 (B) r < r1 (C) r = r1 (D) r 与 r1的关系依 C 而定 解. B A C r C n = m¥n n¥ n , ( ) = , 所以 1 r = r(AC) ³ r(A) + r(C) - n = r 又因为 - 1 A = BC , 于是 r = r BC ³ r B + r C - n = r - - ( ) ( ) ( ) 1 1 1 所以 r = r 1 . (C)是答案
9.设A、B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩 (A)必有一个等于零(B)都小于n(C)一个小于n,一个等于n(D)都等于n 解.若r(A)=n,则A存在由AB=0,得B=0,矛盾.所以r(4)<n同理 r(B)<n.(B)是答案 计算证明题 设A=-121,B=2-25求:iAB一BAiA2-B2iBAT 341 46 946 解.AB-BA=-17-173,A-B2=-15-159 1816 B A 2.求下列矩阵的逆矩阵 1111 cos a sin a 0 ii. -sin a cos a 0 1100 5200 2100 0100 001-2 1000 001 0001「11 10001 l1-1-1:0100 0 1010 1110 1000 0- l100
9. 设 A、B 都是 n 阶非零矩阵, 且 AB = 0, 则 A 和 B 的秩 (A) 必有一个等于零 (B) 都小于 n (C) 一个小于 n, 一个等于 n (D) 都等于 n 解. 若 ( ) , . 0 , 0 1 = = = - r A n 则A 存在 由 AB 得 B , 矛盾. 所以 r(A) < n . 同理 r(B) < n . (B)是答案. 三. 计算证明题 1. 设 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È = - 3 4 2 1 2 1 3 1 0 A , ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - = 3 4 1 2 2 5 1 1 0 B . 求: i. AB－BA ii. A 2－B 2 iii. BT A T 解. AB - BA = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 9 18 16 17 17 3 1 4 6 , - = 2 2 A B ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - 3 26 13 15 15 9 9 4 6 = T T B A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - 5 11 22 5 1 3 5 6 17 2. 求下列矩阵的逆矩阵 i. ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ii. ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 a a a a iii. ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 iv. ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - 0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 5 2 0 0 解. i. Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - - 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - - - - - 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 0 2 2 1 1 1 1 M M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È - - - - - - - 1 0 0 1 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 0 1 0 1 1 1 1 1 M M M M
000 0100 0:%0 0- 2-2 000 22 00-1 10 0100 12/212 0- 11 000 0101:k0 22 0011y-%00 0004 0101 12/2 k 000 0001 k-%4-%4 1000 %%% 0100 %- 0001 -%-% -%-%% cos a sIn a sIn a 由矩阵分块求逆公式 sIn a cos a sin a cosa a 0 得到2= SIn a coS a0 0 0 10/由矩阵分块求逆公式:/0 0 B
Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - - - - 0 0 1 1 1 1 0 0 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 0 2 2 0 0 2 2 0 1 0 1 1 0 1 0 M M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - - 0 0 1 1 0 0 2 1 2 1 0 2 0 1 2 1 0 2 0 1 2 1 0 0 2 2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 M M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - - - 1 1 1 1 0 0 2 1 2 1 0 2 0 1 2 1 0 2 1 2 0 1 0 0 0 4 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 M M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - - - 4 1 4 1 4 1 4 1 0 0 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 M M M M ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - - - - 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 M M M M , ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - - - - = - 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 A ii. ˙ ˚ ˘ Í Î È - = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - a a a a a a a a sin cos cos sin sin cos cos sin 1 . 由矩阵分块求逆公式: ˙ ˚ ˘ Í Î È = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - - 1 1 1 0 0 0 0 B A B A 得到: ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - = - 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 1 a a a a A iii. ˙ ˚ ˘ Í Î È = ˙ ˚ ˘ Í Î È - 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . 由矩阵分块求逆公式: ˙ ˚ ˘ Í Î È = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - - 0 0 0 0 1 1 1 A B B A
0010 所以A 1000 ⅳv.由矩阵分块求逆公式 1-200 2500 得到:A 为」 3.已知三阶矩阵A满足Aa1=ia1(=1,2,3).其中a1=(1,2,2),a2=(2,-2,1), a3=(-2,-1,2).试求矩阵A 解.由本题的条件知:A2 212 226 2-2-1:010→0-63 -210| 12-2 100 102 00-3 0 33 33 9 01-2 0 010 31929 001
所以 ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È = - 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 A iv. 由矩阵分块求逆公式: ˙ ˚ ˘ Í Î È = ˙ ˚ ˘ Í Î È - - - 1 1 1 0 0 0 0 B A B A 得到: ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Î È - - - = - 3 1 3 1 0 0 3 2 3 0 0 1 2 5 0 0 1 2 0 0 1 A 3. 已知三阶矩阵 A 满足 A = i (i = 1 ,2 ,3 ) ai a i . 其中 T (1 ,2 ,2 ) a1 = , T (2 , 2 ,1 ) a 2 = - , T ( 2, 1, 2) a 3 = - - . 试求矩阵 A. 解. 由本题的条件知: = ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 2 1 2 2 2 1 1 2 2 A ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 2 2 6 2 4 3 1 4 6 Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 2 2 2 1 1 2 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - - - 2 0 1 2 1 0 1 0 0 0 3 6 0 6 3 1 2 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - - - 0 3 1 3 2 3 1 0 3 2 1 0 0 0 2 1 0 1 2 1 2 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - - - 3 2 3 1 3 2 3 1 0 3 2 3 2 0 3 1 0 0 3 0 1 2 1 0 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - - - 9 2 9 1 9 2 3 1 0 3 2 3 2 0 3 1 0 0 1 0 1 2 1 0 2 M M M Æ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - 9 2 9 1 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 2 9 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 M M M
4-6 92929 291-92 5 1226 2919 4k取什么值时,A=0k0可逆,并求其逆 解.|4|=0k0=k≠0 1-1 100 00「100:1007 1-11:00 001 所以A 0l 5.设A是n阶方阵,且有自然数m,使(E+A)=0,则A可逆 解因为(E+A)=∑cmnA=E+∑cnA=0 所以A(-∑cm42)=E.所以A可逆 6.设B为可逆矩阵,A是与B同阶方阵,且满足A2+AB+B2=0,证明A和A+B都是可逆 矩阵 解.因为A2+AB+B2=0,所以A(A+B)=-B2 因为B可逆,所以-B2F(-1)|BF≠0 所以|A(4+B)H-B2≠0.所以A,A+B都可逆 7.若A,B都是n阶方阵,且E+AB可逆,则E+BA也可逆,且 (E+ BA)=E-B(E+AB)A
˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - - = ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Í Í Î È - - - ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - - - = 2 3 2 3 2 3 2 3 5 0 3 2 0 3 7 9 2 9 1 9 2 9 1 9 2 9 2 9 2 9 2 9 1 2 2 6 2 4 3 1 4 6 A 4. k 取什么值时, ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - = 1 1 1 0 0 1 0 0 A k 可逆, 并求其逆. 解. 0 1 1 1 0 0 1 0 0 | | = ¹ - A = k k Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 1 -1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 M M M k ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 -1 1 - 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 M M M k Æ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È 0 0 1 - 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 k k M M M 所以 ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Î È - = - 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 k A k 5. 设 A 是 n 阶方阵, 且有自然数 m, 使(E + A)m = 0, 则 A 可逆. 解. 因为 ( ) 0 0 1 + = Â = + Â = = = m i i i m m i i i m m E A c A E c A 所以 Â= - - = m i i i A c m A E 1 1 ( ) . 所以 A 可逆. 6. 设 B 为可逆矩阵, A 是与 B 同阶方阵, 且满足 A2 + AB + B2 = 0, 证明 A 和 A + B 都是可逆 矩阵. 解. 因为 0 2 2 A + AB + B = , 所以 2 A(A + B) = -B . 因为 B 可逆, 所以| | ( 1 ) | | 0 2 2 -B = - B ¹ n 所以 | ( ) | | | 0 2 A A + B = -B ¹ . 所以 A, A + B 都可逆. 7. 若 A, B 都是 n 阶方阵, 且 E + AB 可逆, 则 E + BA 也可逆, 且 E BA E B E AB A 1 1 ( ) ( ) - - + = - +
AR(E+BA(E-B(E+AB)-A=E+BA-(E+ BA)B(E +AB-A E+ BA-(B+ BAB)E+AB)A=E+ BA- B(E +AB(E+AB)A =E+BA-BA=e 所以(E+BA)=E-B(E+AB)A 8.设A,B都是n阶方阵,已知B≠0,A-E可逆,且(A-E)1=(B-E),求证A可逆 解因为A-E)=(B-E),所以(A-E(B-E)=E 所以A(B-E)-B+E=E,A(B-E)=B 由|B|≠0知B,(B)存在 所以A(B-E)B)=E.所以A可逆 9.设A,B,A+B为n阶正交矩阵,试证:(4+B)1=A+B-1 解.因为A,B,A+B为正交矩阵,所以(A+B)=(A+B),A=A,BI=B-1 所以(4+B)=(A+B)=A+B=A-+B 10.设A,B都是n阶方阵,试证明 =AB-El e B 解因为[6 -AA EE E‖EB|0E-AB O EE -AA E E B 所以 E00 EE B0 E-AB ()".E BO E-AB=(11AB-EI 因为(-1)”=(-1)",所以 /E R=IAB-EI 1l.设A为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E为四阶单位矩阵 0000 0000 B 00k0 (k>0,>0) 000 i.试计算E+AB并指出A中元素满足什么条件时,E+AB可逆 i当E+AB可逆时,试证明(E+AB)A为对称矩阵
解. E BA E B E AB A E BA E BA B E AB A 1 1 ( )( ( ) ) ( ) ( ) - - + - + = + - + + = E BA B BAB E AB A E BA B E AB E AB A 1 1 ( )( ) ( )( ) - - + - + + = + - + + = E + BA - BA = E 所以 E BA E B E AB A 1 1 ( ) ( ) - - + = - + . 8. 设 A, B 都是 n 阶方阵, 已知|B| ¹ 0, A－E 可逆, 且(A－E)－1 = (B－E)T , 求证 A 可逆. 解. 因为(A－E)－1 = (B－E)T , 所以(A－E)(B－E)T = E 所以 A B E B E E T T ( - ) - + = , T T A(B - E) = B 由 |B| ¹ 0 知 1 1 ( ) - T - B ， B 存在. 所以 A B E B E T T - = -1 ( )( ) . 所以 A 可逆. 9. 设 A, B, A + B 为 n 阶正交矩阵, 试证: (A + B)－1 = A －1 + B －1 . 解. 因为 A, B, A + B 为正交矩阵, 所以 1 1 1 ( ) ( ) , , - - - A + B = A + B A = A B = B T T T 所以 1 1 1 ( ) ( ) - - - A + B = A + B = A + B = A + B T T T 10. 设 A, B 都是 n 阶方阵, 试证明: | AB E | E B A E = - . 解. 因为 ˙ ˚ ˘ Í Î È - =˙ ˚ ˘ Í Î È ˙ ˚ ˘ Í Î È - ˙ ˚ ˘ Í Î È E AB E B E B A E E E A E E 0 0 0 0 所以 E AB E B E B A E E E A E E - = - 0 0 0 0 ( 1 ) | | 0 ( 1 ) 1 2 AB E E AB E B E B n A E n = - - - - × × = 因为 n n ( 1) ( 1) 2 - = - , 所以 | AB E | E B A E = - 11. 设 A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E 为四阶单位矩阵 ( 0 , 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 > > ˙ ˙ ˙ ˙ ˚ ˘ Í Í Í Í Î È = k l l k B i. 试计算|E +AB|, 并指出 A 中元素满足什么条件时, E + AB 可逆; ii. 当 E + AB 可逆时, 试证明(E + AB)－1A 为对称矩阵