矩阵理论 兰州大学信息科学与工程学院 204年 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 矩阵理论 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
目的和内容 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具 现代工程中的一些问题,如果用矩阵表示,不但形式简洁, 更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发 展和普及,矩阵分析显得越来越重要; 举例匚」 教学目的 掌握主要的概念; 能够看懂相关文献,尤其是各种术语和符号的含义; 掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号 )、inf0)、 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 目的和内容 • 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具； • 现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁， 更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发 展和普及，矩阵分析显得越来越重要； –举例 • 教学目的： –掌握主要的概念； –能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义； –掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容 • 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号 • sup(*)、inf()、 •
动态系统的描述 ·电路系统 R R(+i1)+L=l(t)(1) dt R(c+i)+l+R2l2=l(1)(2)()til3 rout) 代入(1)1=RR R (R+R2Lz(rUc+ u(t) )L(R1+R2)L R 代入2)=(R+RC4(R+R2C+(R+R2C0 R y(1)=R21=R2Cc rR2 R2 R+R R,+ R 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 动态系统的描述 • 电路系统 L C R2 R1 u(t) iL u(t) iC ( ) ( ) 1 u t dt di R i i L L C + L + = ( ) ( ) 1 2 R i i u R i u t C + L + c + c = dt du i C c c = ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 u t R R C u R R C i R R C R i u L C L C + + + − + = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 u t R R L R u R R L R i R R L R R i L L C + + + + + = − ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 u t R R R u R R R i R R R R y t R i C R CuC L C + + + − + = = = − 代入(1) 代入(2) (1) (2)
动态系统的描述( Cont inue) 写成矩阵形式: A B rR2 R RR (R,+r2)L (R+R2)LiL(R,+R2) R RR (R1+R2)C(R1+R2)C (R1+R2) C X D r,R2 R1+R2 R2 X=AX+Bu R2Lu」R+R2 Y=CX+DU R1+R2 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 动态系统的描述(Continue) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 u t R R L R R R R L R R u i R R C R R C R R R L R R R L R R u i C L C L + + + + − + − + + − = ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 u t R R R u i R R R R R R R y t C L + + + − + − = 写成矩阵形式： X A X B U Y C X D U X = AX + BU Y =CX + DU
动态系统的描述( Cont inue) 机械系统的振动 ∑F F=F(0-Fr-F Fr=Ky(t) F() F/==0 dy(t) Ky()=F()v(t)=y() y(1) K ()=a(t) F(t y(1) v(t)+ 写成矩阵形式: 0 K F(t X=AX+Bu v() AX BU 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 动态系统的描述(Continue) • 机械系统的振动 m y(t) F(t) F = ma = − Ff − FK F F(t) dt dy t F fv f f ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Ky t F t dt dy t f dt d y t m + + = v(t) = y (t) m F t v t m f y t m K v t a t ( ) ( ) = ( ) = − ( ) − ( ) + 1 ( ) 0 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) F t m v t y t m f m K v t y t + − − = F Ky(t) K = 写成矩阵形式： X A X B U X = AX + BU
动态系统的描述( Cont inue) 离散系统 Vy(n)=y(n)-y(n-1) x(n △y(n)=y(n+1)-y(n) 离散时间系给(m) Von)=v(vy(n) △^y(n)=△(△y(n) v y(n)+CN-v y(n)+.+c,Vy(n)+coy(n) dmv x(n)+dM-v-x(n)+.+d,Vx(n)+dox(n) )+a1y(n-1)+…+aN-1y(n-N+1)+aNy(n-N) box(n)+b,x(n-1)+.+bu_x(n-M+1)+bx(n-M ∑ay(m-k)=∑bx(n 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 动态系统的描述(Continue) • 离散系统 离散时间系统 y(n) = y(n) − y(n −1) x(n) y(n) y(n) = y(n +1) − y(n) ( ) ( ( )) 1 y n y n K K− = ( ) ( ( )) 1 y n y n K K− = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 c y n c 1 y n c y n c y n N N N N + + + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 d x n d 1 x n d x n d x n M M M = M + + + + − − ( ) ( 1) ( 1) ( ) a0 y n + a1 y n − ++ aN−1 y n − N + + aN y n − N ( ) ( 1) ( 1) ( ) = b0 x n +b1 x n − ++bM −1 x n − M + +bM x n − M = = − = − M r r N k k a y n k b x n r 0 0 ( ) ( )
动态系统的描述( Cont inue) ·引入中间变量,化高阶差分方程为一阶线性差分方程组 +Pox(n-N m(n-N+1)=m2(n-N)+1x(n-M)=(n-N+1)-Bx(n-N+1) XaN-1 m(n-N+1)=m(n-N)+B2x(m-N)=y(m-N+2)-月x(n-N+2)-Bx(n-N+1) ×aN-2 my(n-N+1)=m (n-N)+BNx(nN=y(n)yBox(n)-B, x(n-1)-.-BN-x(n-N+1)+xao a,m,(n-N)+a,-m,(n-N)+.+a mN(n-N)=0 any(n-N)+aN-y(n-N+1)+aoy(n) x(n-N(aNBo+aN+B B x(n-M-1)(aM+B+a1+1B1 b -x(n-M(amBo+aM-B+.+aoBM) x(n)(a0B6) ∑。ay(n-k)=∑b-xn-n) 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 动态系统的描述(Continue) • 引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) m1 n − N + = m2 n − N + 1 x n − N = y n − N + − 0 x n − N + ( ) ( ) ( ) m1 n − N + 0 x n − N = y n − N ( 1) ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 1) m2 n − N + = m3 n − N + 2 x n − N = y n − N + − 0 x n − N + − 1 x n − N + …… ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) mN n − N + = mN+1 n − N + N x n − N = y n − 0 x n − 1 x n − −− N−1 x n − N + aN N−1 a aN−2 … + a0 ( ) ( ) ( ) aNm1 n − N + aN−1m2 n − N ++ a0mN+1 n − N ( ) ( 1) ( ) = aN y n − N + aN−1 y n − N + ++ a0 y n ( )( ) n N aN 0 aN 1 1 a0 N − x − + + ++ …… …… ( 1)( ) − n − M − aM +1 0 + aM +1 1 + + a0 M +1 x ( )( ) n M aM 0 aM 1 1 a0 M − x − + − ++ ( )( ) n a0 0 − x 0 0 0 b bM = = − = − M r r N k k a y n k b x n r 0 0 ( ) ( ) = 0
动态系统的描述( Cont inue) m,(n-N)-Box(n-N=y(n-N m1(n-N+1)=m2(n-N)+Bx(n-N)=y(n-N+1)-B0x(n-N+1) m2(n-N+1)=m3(n-N)+B2x(n-N)=y(n-N+2)-B6x(n-N+2)-B1x(n-M+1) m(n-N+1)=m+(n-N)+B、x(n-N)=y(mn)-6x(m)-1x(n-1)-…-B、-1x(m-N+1) +1(n-N m,(n-N)+N ,(n oN(n-N 写成矩阵形式 m(m)7「 0 m, ( n 1)1|「B2 m2(m)00 0m2(n-1)|B2 x(n-1) m1(m) M(n)=GM(n-1)+Hx(n-1) (m)=000m2(n) +x(m) y(n)=CM(n)+Dx(n) mx(n) 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 动态系统的描述(Continue) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) m1 n − N + = m2 n − N + 1 x n − N = y n − N + − 0 x n − N + ( ) ( ) ( ) m1 n − N − 0 x n − N = y n − N ( 1) ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 1) m2 n − N + = m3 n − N + 2 x n − N = y n − N + − 0 x n − N + − 1 x n − M + …… ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) mN n − N + = mN+1 n − N + N x n − N = y n − 0 x n − 1 x n − −− N−1 x n − N + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 1 1 0 1 m n N a a m n N a a m n N a a m n N N N N N − = − + − + + − − + 写成矩阵形式: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 0 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 1 0 1 0 − + − − − = − x n m n m n m n m n m n m n a N N a a a a a N N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [1 0 0 0] 0 2 1 x n m n m n m n y n N + = M (n) = GM(n −1) + Hx(n −1) y(n) = CM(n) + Dx(n)
相关概念及定义 矩阵( Matrix) 矩阵是数域F的mXn个数构成的数表 n nI m2 称为F上m行、n列的矩阵,记为A a.∈Fi= 称为A的第i行、第j列元素,记为(4) 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 相关概念及定义 • 矩阵(Matrix) – 矩阵是数域F上的m×n个数构成的数表： 称为F上m行、n列的矩阵，记为A 称为A的第i行、第j列元素，记为(A)ij m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 aij F i = 1, …, m, j = 1, …, n A ij = aij ( )
相关概念及定义( conti nue) 数域上的—切m行、n列的矩阵的集合,记为: F 若A∈Fm,B∈F"",则称矩阵A与B同型 ·数域( Field) 若数集F含有数1且对四则运算封闭,则称F为数域 映射( Mapping) 若X≠φ,Y≠φ,若存在一个对应关系(或对应法则, correspondence relationship or correspondence rule), VxE X 有Y中的唯一的一个元素y与之对应,就称给出了一个从X到Y的 个映射∫,记作:∫X→Y,或y=八x) 映射是函数概念的推广,它与函数、算子、变换表示的是同一个 概念 特别地,当Y为数集(实数集R或复数集C)时,称∫为定义在集合Ⅹ 上的泛函( functiona) 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 相关概念及定义（continue） – 数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为： –若 ， ，则称矩阵A与B同型 • 数域（Field） –若数集F含有数1且对四则运算封闭，则称F为数域 • 映射（Mapping） –若 ， ，若存在一个对应关系（或对应法则， correspondence relationship or correspondence rule）， ， 有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一 个映射f，记作：f:X→Y，或y = f(x) – 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个 概念 – 特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称f为定义在集合X 上的泛函（functional） m n F m n A F m n B F X Y x X