矩阵理论-第二讲 兰州大学信息科学与工程学院 204年 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 矩阵理论-第二讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年
回顾与复习 矩阵理论的应用背景 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、 矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转 置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵 ( adjoint matrix, NOT adjacent matrix)、逆矩阵、逆的 性质、矩阵的秩、秩的性质等 ·矩阵运算:矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、 方阵的幂 线性空间 非空集 定义了加法,满足4条有关加法的规律(加法交换群); 定义了数乘,满足4条有关数乘的规律 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习 • 矩阵理论的应用背景； • 矩阵、数域、映射、直积集、代数运算、集合对运算封闭、 矩阵运算、负矩阵、零矩阵、方阵、对角阵、单位阵、转 置矩阵、分块矩阵、分块矩阵的相等、伴随矩阵 （adjoint matrix, NOT adjacent matrix）、逆矩阵、逆的 性质、矩阵的秩、秩的性质等 • 矩阵运算：矩阵加法、矩阵减法、数乘矩阵、矩阵乘法、 方阵的幂 • 线性空间： –非空集 –定义了加法，满足4条有关加法的规律（加法交换群）； –定义了数乘，满足4条有关数乘的规律；
回顾与复习( Cont i nue) ·线性映射(线性算子、线性变换) 同一数域上的线性空间到线性空间的映射 线性泛函 一线性空间到数域的映射 线性子空间 非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同 子空间的维数不超过其全空间的维数 子空间的维数三生成元(列向量)构成的矩阵(向量组)的秩 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 线性映射（线性算子、线性变换） –同一数域上的线性空间到线性空间的映射 • 线性泛函 –线性空间到数域的映射 • 线性子空间 –非空子集、加法与数乘的定义与原空间相同 –子空间的维数不超过其全空间的维数 –子空间的维数 = 生成元（列向量）构成的矩阵（向量组）的秩
回顾与复习( Cont i nue) x∈R3{x:A∈F} x=0 {Ax:∈F}={0} 10≠4∈F,A0=0单独一个就已经线性相关了,所以规定零子 空间的维数为0,并且规定它的基为空集 a x1=1 nx=3nb C 12x x≠ 2 X, =x 1x=0 X是线性子空间,x∈X,集合 是子空间,当x≠0时,是由x生 成的一维子空间{x:λ∈F} 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） 3 x R {x : F} x 0 = c b a x x = 0 {x : F} = {0} 0 F,0 = 0 单独一个就已经线性相关了，所以规定零子 空间的维数为0，并且规定它的基为空集 x X {x : F} x 0 X是线性子空间， ，集合 是子空间，当 时，是由x生 成的一维子空间 1 x 2 x Y X Z b a c x x 1 = 1 x x 2 = 2 ( ) 1 0 1 2 1 2 1 2 x2 + − x = x − x =
回顾与复习( Cont i nue) xy∈R3不相关 x≠0,y≠0 x,=a,x+By xbi, y=y x+B, b2 x3=ax+B3y Z +By a =ax xty B2 B a,B,-a,B, aB,-a,B y aB, aB,-a2P X1 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） 3 x, y R x 0, y 0 Y X Z 不相关 x x y x x y x x y 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = + = + = + x y x+ y = = 2 2 2 2 1 1 1 1 , c b a x c b a x = = c b a c b a y y y y x x x x , a a a a a x y a x y 2 2 2 1 1 1 = + = + 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 y a a x a a a a − + − − = − − + − = 3 ~ 1 ~ 2 x = x + x
回顾与复习( Cont i nue) ·线性方程组解的结构 齐次 AX=O A∈F n×n (1,)(2,元2)…(k,六 r×(n-r) ∈Fnr) 5152…Sn-r 非齐次 AX=BA∈FmN、B∈Fm X=X+X 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 线性方程组解的结构 –齐次 –非齐次 n−r , , , 1 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) n n r n r r n r k k F I C I i j I i j I i j − − − − AX = 0 m n A Fr X =X1 +X0 AX = B 1 , m n m A Fr B F
回顾与复习( Cont i nue) ·方阵的特征值与特征向量 A∈FhM 彐∈F30≠x∈Fn Ax=ax 特征矩阵 A∈F 12 2-4 L 2 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 方阵的特征值与特征向量 • 特征矩阵 n n A F F n 0 x F Ax = x n n A F − − − − − − − − − − = n n n n n n a a a a a a a a a I A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1
回顾与复习( Cont i nue) ·特征多项式 det(2r-A) 特征方程 det(1-A=0 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 回顾与复习（Continue） • 特征多项式 • 特征方程 det(I − A) = 0 det(I − A)
特征值与特征向量( Cont inue) ·特征值的代数重数 若λ∈F是A∈F的k重特征值,则称的代数重数为k 特征值的几何重数 (MⅠ-A)x=0的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间,记 为V2。特征子空间的维数 dim v,=n-rank(/ 称为A的特征值λ的几何重数 ·特征值的几何重数不超过它的代数重数: 若∈F是A∈F"的k重特征值,则 dmV2=n-rank(-A)≤k 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） • 特征值的代数重数 –若 是 的k重特征值，则称λ的代数重数为k • 特征值的几何重数 – 的解空间称为A的属于特征值λ的特征子空间，记 为 。特征子空间的维数 称为A的特征值λ的几何重数 • 特征值的几何重数不超过它的代数重数： –若 是 的k重特征值，则 n n A F F V (I − A)x = 0 dimV = n − rank(I − A) dimV = n − rank(I − A) k n n A F F
特征值与特征向量( Cont inue) 矩阵的多项式 设八(2)是4的多项式 f()=a,°+a、-2”-+…+a1元+ao S∈ a1,∈F,i=1,…s:运算结果是一个数 对A∈F"",定义 f(4)=a,A+an141+…+a14+01 为矩阵A的多项式 a,∈F,i=1,…sA,I∈Fn:运算结果是一个F上的矩阵 矩阵的多项式的特征值和特征向量 若A∈F是A∈F""的特征值,彐0≠x∈F”是A的属于的特征 向量,那么x也是∫(A)的属于特征值f(4)的特征向量 Ax=ax f(A)x=f(a)x f(A)=0 →f(4)=0(对4的任特征值) 萬m水字信息科学与工程学院
信息科学与工程学院 特征值与特征向量（Continue） • 矩阵的多项式 –设 f(λ) 是 λ 的多项式 ：运算结果是一个数 –对 ，定义 为矩阵A的多项式 ：运算结果是一个 上的矩阵 • 矩阵的多项式的特征值和特征向量 –若 是 的特征值， 是A的属于λ的特征 向量，那么x也是 的属于特征值 的特征向量： n n A F 1 0 1 1 f ( ) a a a a s s s = s + + + + − − n n F f A a A a A a A a I s s s s 1 0 1 1 ( ) = + + + + − − n n A F F a F i s i , , =1, n n ai F i s A I F , =1, , Ax = x f (A)x = f ()x n 0 x F f (A) f () sZ f (A) = 0 f () = 0 (对A的任一特征值λ）