兰州大学：《矩阵理论》第四讲 化方阵A为Jordan标准形

矩阵理论-第四讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-1

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 1 矩阵理论-第四讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 化方阵4为rdan标准形 特征向量法 1.在A的JorlⅦm矩阵中构 初等变换法 造k个以为对角元素 多项式矩阵(λ矩阵) 的 Jordan块 多项式矩阵的Smth标准型 2.k个 Jordan块的阶数之 和等于r 不变因子、初等因子 行列式因子法 dk(n) D() (1≤k≤n) ·A~J的相似变换矩阵P的求法 )() AP=PJ 1p1=2P1 Ipr=pir+n, p r×(n-P) ∈F 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-2

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 2 上节内容回顾 • 化方阵A为Jordan标准形 – 特征向量法 – 初等变换法 • 多项式矩阵（ λ矩阵） • 多项式矩阵的Smith标准型 • 不变因子、初等因子 – 行列式因子法 • 的相似变换矩阵P的求法 1. 在A的Jordan矩阵中构 造k个以 为对角元素 的Jordan块 2. k个Jordan块的阶数之 和等于 i i r (1 ) ( ) ( ) ( ) 1 k n D D d k k k =   −    A~ J AP = PJ      = + = i i− i ir ir i ir i i i Ap p p Ap p   1 1 1  ( 1) ( ) 1 ( ) 1 ~ 0 0 ( )  + −   −          = m n m r r r n r r F D I C D A B

Hamilton- Cayley定理 任一方阵都是它的特征多项式的根 Hamilton- Cayley定理 设A∈Cm,(4)=det(M-A),则φ(A)=0 证明 运算结果是一个零矩阵 由于 P(n)=det(al-a) 运算结果是一个多项式 显然 0(A)米det(A/-A)=0 运算结果是一个数 运算结果是一个矩阵 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-3

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 3 Hamilton-Cayley定理 • 任一方阵都是它的特征多项式的根 – Hamilton-Cayley定理 设 ， ，则 – 证明： 由于 显然 nxn AC () = det(I − A) (A) = 0 () = det(I − A) (A) = det(AI − A) = 0 运算结果是一个多项式 运算结果是一个数 运算结果是一个矩阵 运算结果是一个零矩阵

Hamilton- Cayley定理 任一方阵都是它的特征多项式的根 证明 彐P∈Cm"P-AP=J 考察J 1 1210 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-4

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 4 Hamilton-Cayley定理 • 任一方阵都是它的特征多项式的根 – 证明： 考察J： P AP = J n n −1 P Cn                                    i      1 0 1 1 0 1 1 2 2 1 1 1      

Hamilton- Cayley定理 将写成如下形式 C 上式中A1A2,…,是A的n个根,所以 0(1)=de/-A)=(4-1-22)…(-x1) 将矩阵A代入上式,形成一个矩阵多项式, 0(A)=(A-D)(A-2D)…(A-2) 将A=PP代入上式 0(4)=(PP-41)(PP-21)…(PP-2,) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-5

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 5 Hamilton-Cayley定理 将J写成如下形式： 上式中 是A 的n个根，所以 将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，： 将 代入上式：             = n J       2  1 ( ) det( ) ( )( ) ( ) A 1 2 n   = I − =  −  −   −   n , , , 1 2  ( ) ( )( ) ( ) 1 2 A A I A I A I  = − −  −n ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 1 1 A PJP I PJP I PJP I  = −  −  − n − −  − −1 A = PJP

Hamilton- Cayley定理 =(PP-P(41)PPP-P(42P-)…(PP-P(2)P P( P(-nDP P. PP(J-2,DP P(J-41)(J-21)…(J-4n)P C 41-1a C 1+1-1 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-6

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 6 Hamilton-Cayley定理 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) ) − − − − − − − − − − − = − − − = − − − = − − − P J I J I J I P P J I P P J I P P P P J I P PJP P I P PJP P I P PJP P I P n n n                           = n J       2  1                       − − − − − = + − n i i i i i i i J I                  1 1 1 0

Hamilton- Cayley定理 P(J-41)(J-21)…(J-4n)P 02- 0 0 2人00 n-2 1-2 C 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-7

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 7 Hamilton-Cayley定理 1 1 2 ( )( ) ( ) − = P J −  I J −  I  J − n I P 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 −               − −                − −               − − = P P n n n n                            

Hamilton- Cayley定理 1-23 12-13a **水 1A4-23 C P 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-8

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 8 Hamilton-Cayley定理 0          =               − −                  − − −               = 2 −1 1 4 3 2 3 1 3 0 0 0 0 * * 0 0 * 0 0 * * P P n n              

Hamilton- Cayley定理 任一方阵都是它的特征多项式的根 证明 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义,定乂多项式矩阵的伴随矩阵 设A(4)=((4)∈C f1(4)f21(4)…fm(A) f2(4)f2() (4 fn()f2n(4)…fm(4) 其中:∫(4)是4λ)的行列式的第行第列元素的代数余子式 那么与常数矩阵类似 A()A()=A()A(n)=det a(n) 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-9

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 9 Hamilton-Cayley定理 • 任一方阵都是它的特征多项式的根 – 证明： 仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定义多项式矩阵的伴随矩阵： 设 其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式， 那么与常数矩阵类似： ( ) * f ij  n n A f ij C  () = ( ()) n n n n n n n n C f f f f f f f f f A                  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 2 * 1 * 2 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2 1 * 1 1 *                  A() A( )A ( ) A ( )A( ) det A( )I * *   =   = 

Hamilton- Cayley定理 设B(4)是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵,那么 B(al-A=det(nr-A) de-A)是次数为n的多项式 det(nl-a=2"-(tr A)2+.+(I)"det a 再考察B(4),其每个元素的次数均不超过n-1: (n-1)2n-1 C +……+a0)a(n-)n-1+…+a) II axn)n1+…+aD xn-+…+a (n-)mn-1+…+a B() am)2n-1+…+a0)an"2n+…+a) m-1)-1+…+Om 萬m水字信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲-10

信息科学与工程学院 矩阵理论第4讲 - 10 Hamilton-Cayley定理 设 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 是次数为n的多项式： 再考察 ，其每个元素的次数均不超过n – 1: B()(I − A) = det(I − A)I B() I A A A n n n det( ) (tr ) ( 1) det 1 − = − + + −    −  det(I − A)               + + + + + + + + + + + + + + + + + + = − − − − − − − − − − − − − − − − − − (0) ( 1) 1 (0) 2 ( 1) 1 2 (0) 1 ( 1) 1 1 (0) 2 ( 1) 1 2 (0) 2 2 ( 1) 1 2 2 (0) 2 1 ( 1) 1 2 1 (0) 1 ( 1) 1 1 (0) 1 2 ( 1) 1 1 2 (0) 1 1 ( 1) 1 1 1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n B                                             B()