兰州大学：《矩阵理论》第十讲 矩阵的微分和积分

矩阵理论-第十讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004 年 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-1

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-1 矩阵理论-第十讲 兰州大学信息科学与工程学院 2004年

上节内容回顾 矩阵的幂级数 A∈C ∈C(k=0,1 A 方阵幂级数收敛的判别定理 ak2:收敛半径为r A∈CnN:谱半径为p(A) p(4)r ak4发散 V|:Cm→>R 4→∑4绝对收敛m(4)≤| Neumann级数收敛充要条件 ∑收敛→m(4)<1∑4=(1-4) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲#-2

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-2 上节内容回顾 • 矩阵的幂级数 • 方阵幂级数收敛的判别定理 ：收敛半径为r ：谱半径为 绝对收敛 发散 绝对收敛 – Neumann级数收敛充要条件 收敛 n n A C   ( 0,1, ,) k a C k  = n n A C   0 k k k a A   = 0 k k k a z   = ( ) A ( ) A r  0 k k k a A   = ( ) A r  0 k k k a A   = A r  0 k k k a A   = ( ) A A  : n n C R  +  → 0 k k A   = ( ) 1 A  1 0 ( ) k k A I A  − =  = −

上节内容回顾 矩阵函数 收敛的矩阵幂级数∑4在矩阵集合C与C"之间建立了一个 (多对一)映射 f: C n×n n1×n 称之为矩阵函数。此矩阵幂级数的和S为4在映射下的象,记为 S=f(a) 矩阵函数的计算 利用 Hamilton- Cayley定理 利用相似对角化 利用 Jordan标准形 利用矩阵多项式 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-3

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-3 上节内容回顾 • 矩阵函数 收敛的矩阵幂级数 在矩阵集合 与 之间建立了一个 （多对一）映射 称之为矩阵函数。此矩阵幂级数的和S为A在映射f下的象，记为 • 矩阵函数的计算 – 利用Hamilton-Cayley定理 – 利用相似对角化 – 利用Jordan标准形 – 利用矩阵多项式 : n n n n f C C   → S f A = ( ) 0 k k k a A   = n n C  n n C 

矩阵的微分和积分 函数矩阵的微分和积分 A(t=(a, (t)) n×n A(t) A(t)di n1×n 高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的 微分 (A(t)+B()=A(1)+B(1) ()4()(2(0)4()+2( (t)=C (A(O)B()=24()B()+A(2B( A(u)=f(t),4(un) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第104

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-4 矩阵的微分和积分 – 函数矩阵的微分和积分 – 高等数学中函数的和、乘积、复合函数的求导法则适用于函数矩阵的 微分 ( ) ( ( )) A t a t = ij m n ( ) ( ( )) A t a t ij m n   = ( ) ( ( )) ij m n d d A t a t dt dt =  ( ) ( ( ) ) b b ij m n a a A t dt a t dt   =  ( ( ) ( )) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t dt dt dt + = + ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d t A t t A t t A t dt dt dt        = +         ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d A t B t A t B t A t B t dt dt dt     = +         ( ) ( ) ( ) d d A u f t A u dt du =  ( )t C=

矩阵的微分和积分 A(t=(a, (t)) B()=(bn(t) (A(tb(o)) k=1 (an()(t)+a2()b21(1)+…+an(t)bn1(1)m (an()b,()+x(an2(D)b21(t) (ain (t)b, (t) P an1()·b()+.an1()·b1() a1(t)b,(t) ()b,(D)+an1(1)b,()+…+a1(1),b,(1) AO)|B()+A()B( 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-5

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-5 矩阵的微分和积分 ( ) ( ( )) A t a t = ij m n ( ) ( ( )) B t b t = ij n p  1 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) n ik kj m p k d d A t B t a t b t dt dt =  =  1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j in nj m p i j i j in nj m p i j i j i j d a t b t a t b t a t b t dt d d d a t b t a t b t a t b t dt dt dt d d d a t b t a t b t a t b t dt dt dt   = + + +   = + + +      =  +  + +    1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i j i j i j m p d d d a t b t a t b t a t b t dt dt dt   +  +  + +    ( ) ( ) ( ) ( ) d d A t B t A t B t dt dt     = +        

矩阵的微分和积分 当A(t)亦可微时,有 (A()=-A(t)A()A(t) A(t)·A(t)=1 (A()4()=A()A(+O)24()|=0 高等数学中函数的和、常数(常数矩阵)与函数矩阵的乘积、分部积 分法、变上限函数、导数的积分法则适用于函数矩阵的积分 aA(t)+BB(O)dt=a A()dt +B B(t)dt nA(tdt=a A(t)dt A(t)·Bdt A(t)dtB AB(odt=al B(t)dt A(r)dr|=4(1) A(t)t=4(b)-A(a) A(t)B()d=A()·B'(t A(t)·B(t)dt 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第106

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-6 矩阵的微分和积分 – 当 亦可微时，有 – 高等数学中函数的和、常数（常数矩阵）与函数矩阵的乘积、分部积 分法、变上限函数、导数的积分法则适用于函数矩阵的积分 1 A t( ) − 1 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) d d A t A t A t A t dt dt − − −   = −     1 A t A t I ( ) ( ) −  = 1 1 1 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d A t A t A t A t A t A t dt dt dt − − −     = + =         0 ( ( ) ( )) ( ) ( ) b b b a a a     A t B t dt A t dt B t dt + = +    ( ) ( ) b b a a   A t dt A t dt =   ( ) ( ) ( ) b b a a A t Bdt A t dt B  =   ( ) ( ) ( ) b b a a A B t dt A B t dt  =   ( ) ( ) ( ) t a d A d A t dt   =  ( ) ( ) ( ) b a A t dt A b A a  = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a A t B t dt A t B t A t B t dt  =  −      

矩阵的微分和积分 数量函数对矩阵变量的导数 行列式、二次型、内积、范数等是这类函数的代表 f →F af ax X dX a ax 以向量为自变量的函数的导数梯度向量 f:C→>F af 05 grad f 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10#-

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-7 矩阵的微分和积分 – 数量函数对矩阵变量的导数 行列式、二次型、内积、范数等是这类函数的代表 以向量为自变量的函数的导数——梯度向量 : m n f C F  → 11 1 1 n ij m n m mn f f x x df f dX x f f x x               = =                      11 1 1 n m mn x x X x x     =       : n f C F → 1 2 n          =       x 1 grad n f df f dx f           = =           

矩阵的微分和积分 数量函数对矩阵变量的导数 举例(1) f(r=a'x=x' a x f(x)=a191+a252+…+an5n -a 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-8

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-8 矩阵的微分和积分 – 数量函数对矩阵变量的导数 举例(1) 1 2 n a a a       =       a 1 2 n          =       x ( ) T T f x a x x a = = 1 1 2 2 ( ) n n f a a a x = + + +    1 1 n n f a df dx f a               = = =                  a ( 1, , ) i i f a i n   = =  ? df dx =

矩阵的微分和积分 数量函数对矩阵变量的导数 举例(2) A f(x)=try df=? Ax=(∑ax)t(4x)=∑m∑a 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10-9

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-9 矩阵的微分和积分 – 数量函数对矩阵变量的导数 举例(2) 11 1 1 n m mn a a A a a     =       11 1 1 m n nm x x X x x     =       f X AX ( ) tr( ) = ( 1 ) n ik kj k m m AX a x =  =  ( 1, , ; 1, , ) ji ij f a i n j m x  = = =  1 1 tr( ) m n sk ks s k AX a x = = =  ? df dX = ( ) T ji n m ij n m df f a A dX x      = = =       

矩阵的微分和积分 数量函数对矩阵变量的导数 举例(3) f(x)=xAx A= asi ……+a1 …+a1 …+a f(x)=x Ax= +an;+…+a 5015+4)51+…+)+(5951+(05+…+mD +…(5nk5+(4m)+…+4m5) 兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-10

兰州大学信息科学与工程学院 矩阵理论第10讲-10 矩阵的微分和积分 – 数量函数对矩阵变量的导数 举例(3) 11 1 1 n n nn a a A a a     =       ( ) T f x x Ax = ? df dx = 1 2 n          =       x ( ) 11 1 1 1 21 1 2 2 1 1 1 ( ) j j n n T j j n n j n n nj j nn n a a a a a a f x x Ax a a a               + + + +   + + + +   = =       + + + +   1 11 1 1 1 1 1 ( ) ( ) j j n n j j jj j jn n = + + + + + + + + + +         a a a a a a 1 1 ( ) n n nj j nn n + + + + + +     a a a 1 n jk k k a   = 1 n kj k k a   =