定义1一个环R叫做一个交换环,假如ab=ba 定义2一个环R的一个元已叫做一个单位元,假如对于R的任意元a来说,都有a=ae=a。 例1R={所有偶数}。R对于普通加法和乘法来说作成一个环。但R没有单位元。 定义3一个有单位元环的 一个元b叫做元a的一个逆元,假如ab=ba=1 例2R={所有模的剩余类}。 [a]+[b]=[a+b] [ab]=labl 定义4若是在一个环里 a0.bx0但ab=0 我们就说,a是这个环的一个左零因子,b是一个右零因子 定理在一个没有零因子的环里两个消去律都成立: ≠0,ab=ac→b=c a≠0,ba=ca→b=c 文过来,在一个环里如果有一个消去律成立,那么这个环没有零因子 证明:假定环R没有零因子。因为 ab=aC→a(b-c)=0 a=0,ba=ca→b=c 这样,在里两个消去律都成立 反过来,假定在一个环里第一个消去律成立 a=0,ab=0→b=0 这就是说,R没有零因子。 定义5一个环R叫做一个整环,假如
定义 1 一个环 R 叫做一个交换环，假如 。 定义 2 一个环 R 的一个元 叫做一个单位元，假如对于 R 的任意元 来说，都有 。 例 1 R＝{所有偶数}。R 对于普通加法和乘法来说作成一个环。但 R 没有单位元。 定义 3 一个有单位元环的一个元 叫做元 的一个逆元，假如 。 例 2 R＝{所有模 的剩余类}。 定义 4 若是在一个环里 但 我们就说， 是这个环的一个左零因子， 是一个右零因子。 定理 在一个没有零因子的环里两个消去律都成立： 反过来，在一个环里如果有一个消去律成立，那么这个环没有零因子。 证明：假定环 没有零因子。因为 这样，在 里两个消去律都成立。 反过来，假定在一个环里第一个消去律成立。 这就是说， 没有零因子。 定义 5 一个环 叫做一个整环，假如 1
2 la=al=a 0: b
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