习题1设a∈G,a的阶为n,证明a’的阶是d,其中4=(,) 证明:首先,(2)2-(27=e2=e 其次,若(a2)”= 故a’的阶是d。 习题2设是循环群,G与同态,证明是循环群 证明,设G=(a,a)=aed,下证=() v万∈,在b∈G,使0b)=b b=a→b=)=a2)=(以a) 所以(=a) 习题3证明循环群的子群也是循环群。 证明,G=(),H是G的子群,又设是属于H且指数最小的正整数,下证=(a) Vb=a∈Him=7+”0r<r 则 (ay 若 (a))2-ae丑 这与的取法矛盾 r'=0→a=(a)→H=(a) 习题4找出模12的剩余类加群的所有子群 解:设H是“1的子群,则H的个数只能为1、2、3、4、6、12
习题 1 设 ， 的阶为 ，证明 的阶是 ，其中 。 证明：首先， ； 其次，若 ，即 ， 因为 的阶为 ，所以 ，而 ， 故 的阶是 。 习题 2 设 是循环群，G 与 同态，证明 是循环群。 证明：设 G＝( )， ，下证 。 ，存在 ，使 ， 又 ， 所以 。 习题 3 证明循环群的子群也是循环群。 证明：设 ，H 是 G 的子群，又设 是属于 H 且指数最小的正整数，下证 。 ，设 ， 则 ，若 ，这与 的取法矛盾， 故 。 习题 4 找出模 12 的剩余类加群的所有子群。 解：设 H 是 的子群，则 H 的个数只能为 1、2、3、4、6、12；
O(H=2,{0]、[6]}: O(H=3,{0]、[4]、[8} O(H=4,{0]、[3]、6、[9]} O(H=6,{0、2]4、6[8]、[10 O(H=12 习题5假设H是群G的一个非空子集,并且H的每一个元的阶都有限,证明H作成子群的充要条件是: a,b∈H→ab∈H 证明:→显然 ←a∈H ∈H 习题6假定a和b是一个群G的两个元,并且ab=ba,又假定a的阶是m,b的阶是,(m,n) 证明:cb 的阶是 证明一方面,(ab=ab=(a")()=e 另一方面,若(ab)=e,则(aby=e→(n)b=e 同理 (m,)=1.mn|k,故,ab的阶是m 习题7若我们把同构的群看作一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群 证明;设G=(,abc) 若G中有阶为4的元a,则b=a2,c=a2,G=(,a,aa2)为循环群 若G中无阶为4的群,则 ea2=e,b2=e,c2=,此时群一定为交换群, 习题8假定H是G的子群,N是G的不变子群,证明HN是G的子群。 证明W,与2∈N
O(H)=1，{e}； O(H)=2，{[0]、[6]}； O(H)=3，{[0]、[4]、[8]}； O(H)=4，{[0]、[3]、[6]、[9]}； O(H)=6，{[0]、[2]、[4]、[6]、[8]、[10]}； O(H)=12， 。 习题 5 假设 H 是群 G 的一个非空子集，并且 H 的每一个元的阶都有限，证明 H 作成子群的充要条件是： 证明： 显然； ，设 ，则 。 习题 6 假定 和 是一个群 G 的两个元，并且 ，又假定 的阶是 ， 的阶是 ， ， 证明： 的阶是 。 证明：一方面， ； 另一方面，若 ，则 ； 同理， ； ， ，故， 的阶是 。 习题 7 若我们把同构的群看作一样的，一共只存在两个阶是 4 的群，它们都是交换群。 证明：设 ， 若 G 中有阶为 4 的元 ，则 ， ， 为循环群； 若 G 中无阶为 4 的群，则 ， ， ， ，此时群一定为交换群，且 ， 。 习题 8 假定 H 是 G 的子群，N 是 G 的不变子群，证明 HN 是 G 的子群。 证明： ，
hn22=(2)n2∈H ()1=n2的=的23∈压 习题9假定G是一个循环群,N是G的一个子群,证明:G/N也是循环群 证明:设G=(a) N是G的子群,从而为G的不变子群。下证 vg∈G,gN∈G/1,若=a,则gN=(g21)
， 。 习题 9 假定 G 是一个循环群，N 是 G 的一个子群，证明： 也是循环群。 证明：设 ，N 是 G 的子群，从而为 G 的不变子群。下证 ， ，若 ，则