第八节广义积分的审敛法 I一函数 无穷限的广义积分的审敛法 无界函数的广义积分的审敛法 r-函数 巴四、小结
生一、无穷限的广义积分的审敛法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法 定理1设函数f(x)在区间a,+)上连续, 且f(x)≥0.若函数F(x)=f( 在a+0)上有界,则广义积分(x)k收敛 由定理1,对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理. 上页
一、无穷限的广义积分的审敛法 在 上有界，则广义积分 收敛． 且 ．若函数 定理１ 设函数 在区间 上连续， + + = + a x a a f x dx f x F x f t dt f x a [ , ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) [ , ) 不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法. 由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
定理2(比较审敛原理设函数f(x)、g(x)在 区间a,+∞)上连续,如果0≤f(x)sg(x)(a≤ 生x<+4,并且(收敏,则 f(r)de 也收敛;如果0≤g(x)≤f(x)(asx<+∞)并 o 且g(x)h发散,则「f(x)也发散. 工工工 证设a<b<+∞,由0≤f(x)≤g(x)及(x) 收敛,得∫/(x)sg(xs,x)k 即P(b)=f(x)在a,+∞)上有上界 上页
且 发散，则 也发散． 也收敛；如果 并 并 且 收敛，则 区 间 上连续，如果 定 理 比较审敛原理 设函数 、 在 + + + + + + + a a a a g x dx f x dx g x f x a x x g x dx f x dx a f x g x a f x g x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ), ( ) ( ) [ , ) 0 ( ) ( ) ( 2( ) ( ) ( ) 证 ( ) ( ) ( ) . 0 ( ) ( ) ( ) + + + a b a b a a f x dx g x dx g x dx a b f x g x g x dx 收敛，得 设 ，由 及 即 F(b) = f (x)dx 在[a,+) 上有上界． b a
由定理1知f(x)x收敛 如果058(x)≤f(x,且,g(x)发散, 则∫/(x)必定发散 :如果7(k收敛,由第一部分知 g(xk也收,这与假设矛盾 例如,广义积分 + (>0 「当P>1时收敛 a 当P≤1时发散 上页
由定理１知 收敛． + a f (x)dx ( ) . 0 ( ) ( ), ( ) , 则 必定发散 如果 且 发散 + + a a f x dx g x f x g x dx 也收，这与假设矛盾． 如果 收敛，由第一部分知 + + a a g x dx f x dx ( ) ( ) 例如， + 当 时发散． 当 时收敛； 广义积分 1 1 ( 0) P p a x dx a p
定理3(比较审敛法1)设函数f(x)在区间 a,+∞)(a>0)上连续,且f(x)≥0.如果 存在常数M>0及p>1,使得f(x)≤ M 王(asx0,使得∫(x)≥ (a≤x<+o) 则f(x)发散 上页
则 发散． 常 数 ，使得 ， 则 收敛；如果存在 存在常数 及 ，使得 上连续，且 如 果 定 理 比较审敛法１ 设函数 在区间 + + + + + a a p f x dx a x x N N f x a x f x dx x M M p f x a a f x f x ( ) 0 ( ) ( ) ( ), ( ) 0 1 ( ) [ , ) ( 0) ( ) 0. 3( ) ( )
王例1判别广义积分厂孔的收敛性 解 0x+1x=x,P=3 根据比较审敛法1, + 广义积分 dx收敛 x+1 上页
例１ . 1 1 判别广义积分 3 4 的收敛性 + x + dx 解 , 1 1 1 1 0 3 4 3 4 4 / 3 x x x = + 1, 3 4 p = 根据比较审敛法１， . 1 1 广义积分 3 4 收敛 + x + dx
生定理(极限审敛法卩设函数/在区间+4 (a>0)上连续,且f(x)≥0.如果存在常数p>1 使得limx”f(x)存在,则∫f(x)t收敛; x→+0 如果mxf(x)=d>0(或lmxf(x)=+∞),则 x→+ x→+o +0 ∫(x)发散 +oO 例2判别广义积分 王解幅个2,x江+x2 的收敛性 x√1+、=1,所给广义积分收敛 ●
发散． 如 果 或 则 使 得 存在，则 收敛； 上连续，且 如果存在常数 ， 定 理 极限审敛法１ 设函数 在区间 + →+ →+ + →+ = = + + a x x a p x f x dx xf x d xf x x f x f x dx a f x p f x a ( ) lim ( ) 0 ( lim ( ) ), lim ( ) ( ) ( 0) ( ) 0. 1 4( ) ( ) [ , ) 例２ . 1 1 判别广义积分 2 的收敛性 + x + x dx 解 1, 11 lim 2 2 = + →+ x x x x 所给广义积分收敛．
3/2 例3判别广义积分 1+xc的收敛性 3/2 解∵limx xx im x→)+o1+x 01+x 根据极限审敛法1,所给广义积分发散 例4判别广义积分「 +oo arctan c的收敛性 arctan x 解 lim x =lim arctan x T x→+0 x→+0 2 根据极限审敛法1,所给广义积分发散 上页
例３ . 1 1 2 3 / 2 判别广义积分 dx的收敛性 x x + + 解 2 2 2 3 / 2 1 lim 1 lim x x x x x x x x + = →+ + →+ = +, 根据极限审敛法１，所给广义积分发散． 例４ . arctan 1 判别广义积分 dx的收敛性 x x + 解 x x x x x x lim arctan arctan lim →+ →+ = , 2 = 根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
王定理设函数f(x)在区间+)上连续, 如果厂f(x)收敛;则厂f(x)dx也收鲛 王证令叫(x)=2(r(x)+/(x) 9x)≥0.且o(x)s/(x)「“f(x)收敛, 丰:列M也收敛但(02(0-(x 王:/=-, Dm=2列厂 ∫(x)dx.收敛 王页下
如 果 收敛；则 也收敛． 定 理 设函数 在区间 上连续， + + + a a f x dx f x dx f x a ( ) ( ) 5 ( ) [ , ) 证 ( ( ) ( )). 21 令(x) = f x + f x (x) 0，且(x) f (x), f (x)dx 收敛, a+ (x)dx 也收敛. a+ 但 f (x) = 2(x) − f (x), ( ) 2 ( ) ( ) , = − ba ba ba f x dx x dx f x dx ( ) 2 ( ) ( ) . + + + = − a a a 即 f x dx x dx f x dx 收敛
定义满足定理条件的广义积分(x) 称为绝对收敛 绝对收敛的广义积分∫(女必定收敛 例5判别广义积分[e" sin bxdx(a,b都是 0 王常数n>0)的收敛性 mb收敛所以所给广义积分收敛 easin bx≤ea,而[e"dx收敛 0 王页下
. 5 ( ) 称为绝对收敛 定义 满足定理 条件的广义积分 + a f x dx 绝对收敛的广义积分 必定收敛． + a f (x)dx 例5 0) . sin ( , 0 常数 的收敛性 判别广义积分 都是 + − a e bxdx a b ax 解 sin , . 0 而 收敛 + − − − e bx e e dx ax ax ax sin . 0 收敛 + − e bx dx ax 所以所给广义积分收敛