第二节平面图形的面积 一、直角坐标系情形 四二、极坐标系情形 巴三、小结思考题
、直角坐标系情形 卩↑y=∫(x) y=2(x) y:=f(x) xx+△zb5 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=Cf(x)dx A=12(x)-f1(x)c 上页
x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 = b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 = − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx 一、直角坐标系情形 xx + x xx
例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 X= (0,0)(1,1) y=p 选x为积分变量x∈|0, 面积元素d4=(x-x2) A=「(x-x2)d/2 3 3 3 0 上页
例 1 计算由两条抛物线y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y
例2计算由曲线y=x3-6x和y=x2所围成 A的图形的面积 6x 解两曲线的交点 yax 3 = 6x J =x →(0,0),(-2,4),(3,9) 选x为积分变量x∈|2,3 (1)x∈I-2,0,d41=(x3-6x-x2)r (2)x∈|0,3,d42=(x2-x3+6x)dx 上页 圆
例 2 计算由曲线y x 6x 3 = − 和 2 y = x 所围成 的图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0), (−2,4), (3,9). = = − 2 3 6 y x y x x 选 x 为积分变量 x[−2, 3] (1) x[−2, 0], dA (x 6x x )dx 3 2 1 = − − (2) x[0,3], dA (x x 6x)dx 2 3 2 = − + 2 y = x y x 6x 3 = −
于是所求面积A=A1+42 A=,(x32-6x-x2)ax+(x (x-x+6x)dx 253 12 说明:注意各积分区间上被积函数的形式 问题:积分变量只能选x吗? 上页
于是所求面积 A = A1 + A2 A (x 6x x )dx 2 0 2 3 = − − − (x x 6x)dx 2 3 3 0 + − + . 12 253 = 说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 问题：积分变量只能选 x 吗？
例3计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围 成的图形的面积 解两曲线的交点 4 =2x J=x-4 →(2,-2),(8,4) 选J为积分变量y∈[2,4 2 dA=y+4-y 小A=d4=18 上页
例 3 计算由曲线y 2x 2 = 和直线y = x − 4所围 成的图形的面积. 解 两曲线的交点 (2,−2), (8,4). = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4
如果曲边梯形的曲边为参数方程 x=o(t) y=y(t) 曲边梯形的面积A=[y()yp(adt f1 (其中千和2对应曲线起点与终点的参数值) 在1,t2](或[2A1)上x=q()具有连续导数, y=v()连续 上页
如果曲边梯形的曲边为参数方程 = = ( ) ( ) y t x t 曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1 = t t A t t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y = (t)连续
2 例4求椭圆+=1的面积 at b x=a cos t 解椭圆的参数方程 y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=4 ydx=4bsin td(acos 0 t) =4ab sin2'tdt=ab 0 上页
例 4 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程 = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． = a A ydx 0 4 = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt = 2 0 2 4 sin = ab
二、极坐标系情形 6+d6 设由曲线r=q(6及射线 6=a、=B围成一曲边扇=B/= 形,求其面积.这里,q(6) de 在[a,月上连续,且p()≥0. 面积元素A=,()2lb=ab 王曲边扇形的面积A= dode a 2 上页
设由曲线r = ( )及射线 = 、 = 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( ) 0． o x = d = + d 面积元素 dA d 2 [ ( )] 2 1 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2 A d = 二、极坐标系情形 r = ( )
例5求双纽线p2=a2c0s20所围平面图形 的面积 解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 y A=4A1 1 A=4 a- cos 20d6=a 2 p =a cos 26 2 上页
例 5 求双纽线 cos 2 2 2 = a 所围平面图形 的面积. 解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积 A = 4A1 A a cos 2 d 2 1 4 4 0 2 = . 2 = a y = x cos 2 2 2 = a A1