第七节方向导数与梯度 巴一、问题的提出 四二、方向导数的定义 巴三、梯度的概念 四四、小结思考题
庄=、问题的提出 庄a,(0,(3,(35.在坐标原点处有个 午火焰,它使金属板受热,假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有 个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 工工工 到达较凉快的地点? 题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方向 (即梯度方向)爬行 上页
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行． 一、问题的提出
生三、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向 王的变化率间题 设函数z=f(x,y)在点 y P P(x,的某一邻域U(P) △ 内有定义,自点P引射线l 王设x轴正向到射线的转角 上为φ并设P(x+△x,y+Ay)° 为l上的另一点且P∈U(p).(如图) 上页
讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z = f (x, y) 二、方向导数的定义 o y x l • P x y • P 内有定义，自点 引射线 ． • 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U P z f x y ( , ) ( ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l + + 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 （如图）
士 PP"Fp=√(△x)2+(4y)2, 且△z=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y), 考虑 当P沿着l趋于P时, lim ∫(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)是否存在 p→>0 上页
| PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), 当 P 沿着 l 趋于 P 时， ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → , z 考虑 是否存在？
定义函数的增量∫(x+△x,y+4y)-∫(x,y)与 cPP两点间的距离=△x)2+(Ay)2之比值, 当P沿着l趋于P时,如果此比的极限存在, 则称这极限为函数在点P沿方向l的方向导数 庄记为可=m/(x+△+Ap)-(x Olp→0 牛依定义,函数/(x,在点P沿着x轴正向=10、 y轴正向e2={0,1的方向导数分别为fx,f 沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是-fx,J 上页
. ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 依定义，函数 f (x, y)在点P 沿着x 轴正向 {1,0} e1 = 、 y轴正向 {0,1} e2 = 的方向导数分别为 x y f , f ； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿 着 趋 于 时，如果此比的极限存在 ， 两点间的距离 之比值， 定 义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 记为
庄定理如果数=在点P1)是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都 存在,且有90 of al ax coS sin g, 其中为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 王f(x+4,y+)-f(y9-W+0p) ax ay 牛两边同除以,得到 上页
定理 如果函数z = f ( x, y)在点P( x, y)是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都 存在，且有 cos sin y f x f l f + = ， 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到
f(x+A, y+Ay)-f(x,y) af Ar af Ay o( ax O义 Oyap 故有方向导数 工工工 可=imnf(x+△x,y+Ay)-/(x,y a p-0 of of =c0S9+。Sm9 ax 上页
cos sin ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 故有方向导数 ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f + = = l f
庄例1求函数x=x2在点P(处滑从点P 到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向即为PQ={1,1}, 故x轴到方向/的转角φ T z 1 2xe2=2 ax (1,0) O (1,0) (1,0) (1,0) 所求方向导数 = CoS(一 T、 )+2sin( 2 2 王页下
例 1 求函数 y z xe 2 = 在 点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到 点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l 的转角 4 = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( + − = − l z . 2 2 = − 这里方向l 即为PQ = {1,−1}
例2求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 al f (1, 1)cosa+f (1,1)sina (1,1) (2x-y)an cos a+(2y-x) sIn a (1,1) 上页
例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy + y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x
T =c0S+sino=√2sin(a+ 故 (1)、当a=4时,方向导数达到最大值2 (2)当5时,方向导数达到最小值-2; 3 (3)当=°和a=时,方向导数等于0 4 上页
= cos + sin ), 4 2sin( = + 故 （1）当 4 = 时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5 = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3 = 和 4 7 = 时， 方向导数等于 0