第九节二元函数的泰勒公式 问题的提出 二元函数的泰勒公式 极值充分条件的证明 巴四、小结
庄-、问题的提出 一元函数的泰勒公式: f(x)=∫(x)+f(x0)(x-x0) (n 2 (x-x0)2+…+ fnt(,+0(x-x)) (n+1)! (x-x0)1(0x时比(x-x0)”高阶的无穷小 上页 圆
一、问题的提出 ( ) ( ) (0 1). ( 1)! ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 ( 1) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 − + + − + − + + − + = + − + + n n n n x x n f x x x x x n f x x x f x f x f x f x x x 一元函数的泰勒公式： 意义：可用n次多项式来近似表达函数 f (x)， 且 误差是当x → x0时比 n (x x ) − 0 高阶的无穷小．
问题:能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数,并能具体地估算出误差的大小 即设z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内连续 且有直到n+1阶的连续偏导数,(xn+h,yn+l) 庄为此邻域内任一点能否把函数(x+到+6) 近似地表达为h=x-x0,k=y-y的n次多项 午式,且误差是当P=b+k2→0时比p高阶的 牛无穷小 上页
问题： 能否用多个变量的多项式来近似表达一个 给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小. 即 设z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内连续 且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( , ) x0 + h y0 + h 为此邻域内任一点,能否把函数 ( , ) f x0 + h y0 + k 近似地表达为 0 0 h = x − x ,k = y − y 的 n 次多 项 式，且误差是当 0 = h 2 + k 2 → 时 比 n 高阶的 无穷小．
生二、二元函数的泰勒公式 定理设z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻域内连 续且有直到n+1阶的连续偏导数,(x+b,y+h) 为此邻域内任一点,则有 0.0 ∫(x+b,y+h)=f(x0,y)+h。+k。f(x,yn) 工工工 ax 1(,O 0.0 +h+k f(xn,y)+…+,h+k 2!ax a1 n! ax a f(o,yo n+1 十 h-+k f(x0+m,y+欧),(0<6<1) (n+1)!、"ax"a 王页下
定 理 设z = f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内连 续且有直到n + 1阶的连续偏导数, ( , ) x0 + h y0 + h 为此邻域内任一点,则有 二、二元函数的泰勒公式 ( , ), (0 1) ( 1)! 1 ( , ) ! 1 ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 + + + + + + + + + + + + + = + + f x h y k y k x h n f x y y k x h n f x y y k x h f x y y k x f x h y h f x y h n n
A甲记号 h +k f ax a 05y0 表示的(x,y)+4,(x,y 0.0 工工工 h。+k。.|f(x,y) x ay 牛表示,(x,)+2Mx,)+厂,x 上页
其中记号 ( , ) 0 0 f x y y k x h + ( , ) ( , ), 0 0 0 0 hf x y kf x y 表示 x + y ( , ) 0 0 2 f x y y k x h + 表示 ( , ) 2 ( , ) ( , ), 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hkf x y k f x y x x + x y + yy
般: 地, ,记 号 h k a ay f(x,y)表示 ∑ C P 证引入函数 f( t 0 1) 显然Φ(0)=f(x0,y), ∫( h y k
一般地,记号 f (x0 , y0 )表示 y k x h m + . ( , ) 0 0 0 p m p x y m p m p m p p m x y p C h k − − = 证 引入函数 ( ) ( , ), (0 1). t = f x0 + ht y0 + kt t 显然 (0) ( , ), 0 0 = f x y (1) ( , ). = f x0 + h y0 + k
庄由的定义及多元复合函数的求导法则可得 ①()=的f(x+ht,y+h)+Mf(x+t,y0+h) =|h+k|f(x,+h,+k), op"(t=hf(xo+ht, yo+ kt) +2hkf,(xo +ht, y, +kt)+k fi,(xo+ht,yo+kt) 上页
由 (t) 的定义及多元复合函数的求导法则,可得 ( , ), ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 f x ht y kt y k x h t hf x ht y kt kf x ht y kt x y + + + = = + + + + + 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 hkf x ht y kt k f x ht y kt t h f x ht y kt xy yy xx + + + + + + = + +
()=∑Cm P hk t-p n+1 Oxav"+1=p (-x+ht, yo+kr n十 h-+k ∫(x0+ht,yv+k) ax ay 利用一元函数的麦克劳林公式,得 ①(1)=Φ(0)+Φ(0)+Φ"(0)+… 2 +Φ(0)+ (n+1) Φ+(,(0<6<1) 上页
( , ). ( ) 0 0 1 1 ( , ) 1 1 0 1 1 ( 1) 0 0 f x ht y kt y k x h x y p t h k n p n p x ht y k t n n p p n p p n n C + + + = = + + − + + + + = + − + + 利用一元函数的麦克劳林公式，得 ( ), (0 1). ( 1)! 1 (0) ! 1 (0) 2! 1 (1) (0) (0) ( ) ( 1) + + + = + + + + n n n n
将Φ(0)=f(x0,y),Φ(1)=f(x0+h,y+k)及 上面求得的Φ(t)直到n阶导数在t=0的值,以及 Φ+"()在t=的值代入上式即得 f(x+,+)=f(x,)+h8+k(x 90 工工工 1(,a +h 2!(a ?×在o f(x0,y)+ dy n 00 +h+k。f(x,y)+R,() n. ox 上页
将 (0) ( , ) 0 0 = f x y , (1) ( , ) = f x0 + h y0 + k 及 上面求得的(t)直 到n阶导数在t = 0的 值,以 及 ( ) ( 1) t n+ 在t = 的值代入上式.即得 ( , ) , (1) ! 1 ( , ) 2! 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 n n f x y R y k x h n f x y y k x h f x y y k x f x h y k f x y h + + + + + + + + + = +
其中 n+1 6.0 R= h-+k (n+1): Ox ay ∫(x+h,y+6) (0<6<1) (2) 证毕 公式(①称为二元函数f(x,y)在点(x,y)的 丌泰勒公式而R的表达式(2)称为拉格朗日型 余项 上页
其中 (0 1). (2) ( , ), ( 1)! 1 0 0 1 + + + + = + f x h y k y k x h n R n n 证毕 公式(1)称为二元函数 f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的 n阶泰勒公式,而Rn的表达式(2)称 为拉格朗日型 余项