·1566 工程科学学报，第41卷，第12期 statistical survey applied to the particulate reinforce metal matrix (秦方，张乐乐，陈敏，等.正交各向异性材料塑性极限与安定的 composites(PRMMCsV/Advances in Direct Methods for Materials 下限分析.清华大学学报：自然科学版，2018,58(11)：966) and Structures.Cham:Springer,2018:51 [13]Chen S S,Liu Y H,Cen ZZ.Lower bound shakedown analysis by [8]Chen G,Bezold A,Broeckmann C,et al.On the statistical using the element free Galerkin method and non-linear determination of strength of random heterogeneous materials. programming.Comput Methods Appl Mech Eng,2008,197(45. Compos Struci1,2016,149:220 48):3911 [9] Zhang J,Oueslati A,Shen W Q,et al.Shakedown of porous [14]Simon J W,Weichert D.Numerical lower bound shakedown material with Drucker-Prager dilatant matrix under general cyclic analysis of engineering structures.Comput Methods Appl Mech loadings.Composite Structures,2019,220:566 Eg,2011,200(41-44:2828 [10]Li H X,Liu Y H,Feng X Q,et al.Plastic limit analysis of ductile [15]Carvelli V,Cen Z Z,Liu Y,et al.Shakedown analysis of defective composites based on homogenization theory.Acta Mech Sin,2002. pressure vessels by a kinematic approach.Arch Appl Mech,1999, 34(4):550 69(9-10):751 (李华祥，刘应华，冯西桥，等基于均匀化理论韧性复合材料塑 [16]Huang C F,Xiao J Y,Huang Z H,et al.Buckling of composite 性极限分析.力学学报，2002,34(4)：550) cylindrical shells fabricated using thin-ply under axial [11]Zhang H T,Liu Y H,Xu B Y.Lower bound shakedown analysis compression.Chin J Eng,2018,40(07):857 of periodic ductile composites.J Tsinghua Univ Sci Technol,2005. (黄春芳，肖加余，黄展鸿，等.薄铺层复合材料薄壁管轴压屈曲 45(2):267 行为研究.工程科学学报，2018,40(07)：857) (张宏涛，刘应华，徐秉业.周期性韧性复合材料的安定下限分 [17]Wang YQ,Tong M B,Zhu S H.3D nonlinear progressive damage 析.清华大学学报：自然科学版，2005,45(2)：267) analysis model for composite laminates.Acta Mater Compos Sin, [12]Qin F,Zhang LL,Chen M,et al.Lower bound analysis of plastic 2009,26(5:159 limit and shakedown state of orthotropic materials.J Tsinghua (王跃全，童明波，朱书华.三维复合材料层合板渐进损伤非线 Uniy Sci Technol,2018,58(11):966 性分析模型.复合材料学报，2009,26(5)：159)statistical survey applied to the particulate reinforce metal matrix composites (PRMMCs)//Advances in Direct Methods for Materials and Structures. Cham: Springer, 2018: 51 Chen  G,  Bezold  A,  Broeckmann  C,  et  al.  On  the  statistical determination  of  strength  of  random  heterogeneous  materials. Compos Struct, 2016, 149: 220 [8] Zhang  J,  Oueslati  A,  Shen  W  Q,  et  al.  Shakedown  of  porous material with Drucker-Prager dilatant matrix under general cyclic loadings. Composite Structures, 2019, 220: 566 [9] Li H X, Liu Y H, Feng X Q, et al. Plastic limit analysis of ductile composites based on homogenization theory. Acta Mech Sin, 2002, 34（4）: 550 （李华祥, 刘应华, 冯西桥, 等. 基于均匀化理论韧性复合材料塑 性极限分析. 力学学报, 2002, 34（4）：550 ） [10] Zhang H T, Liu Y H, Xu B Y. Lower bound shakedown analysis of periodic ductile composites. J Tsinghua Univ Sci Technol, 2005, 45（2）: 267 （张宏涛, 刘应华, 徐秉业. 周期性韧性复合材料的安定下限分 析. 清华大学学报: 自然科学版, 2005, 45（2）：267 ） [11] Qin F, Zhang L L, Chen M, et al. Lower bound analysis of plastic limit  and  shakedown  state  of  orthotropic  materials. J Tsinghua Univ Sci Technol, 2018, 58（11）: 966 [12] （秦方, 张乐乐, 陈敏, 等. 正交各向异性材料塑性极限与安定的 下限分析. 清华大学学报: 自然科学版, 2018, 58（11）：966 ） Chen S S, Liu Y H, Cen Z Z. Lower bound shakedown analysis by using  the  element  free  Galerkin  method  and  non-linear programming. Comput Methods Appl Mech Eng,  2008,  197（45- 48）: 3911 [13] Simon  J  W,  Weichert  D.  Numerical  lower  bound  shakedown analysis  of  engineering  structures. Comput Methods Appl Mech Eng, 2011, 200（41-44）: 2828 [14] Carvelli V, Cen Z Z, Liu Y, et al. Shakedown analysis of defective pressure vessels by a kinematic approach. Arch Appl Mech, 1999, 69（9-10）: 751 [15] Huang  C  F,  Xiao  J  Y,  Huang  Z  H,  et  al.  Buckling  of  composite cylindrical  shells  fabricated  using  thin-ply  under  axial compression. Chin J Eng, 2018, 40（07）: 857 （黄春芳, 肖加余, 黄展鸿, 等. 薄铺层复合材料薄壁管轴压屈曲 行为研究. 工程科学学报, 2018, 40（07）：857 ） [16] Wang Y Q, Tong M B, Zhu S H. 3D nonlinear progressive damage analysis model for composite laminates. Acta Mater Compos Sin, 2009, 26（5）: 159 （王跃全, 童明波, 朱书华. 三维复合材料层合板渐进损伤非线 性分析模型. 复合材料学报, 2009, 26（5）：159 ） [17] · 1566 · 工程科学学报，第 41 卷，第 12 期