(数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 单连通区域：如果区域'内任一封闭曲线皆可以不经过"以外的点收缩于属 于'的一点，则称V为单连通区域.非单连通区域称为复连通区域. 定理22.5设QcR为空间单连通区域.若函数在上连续，且有一阶连续 偏导数，则以下四个条件是等价的： (1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L,有 Pdx +Ody +Rd =0. (ⅱ)对于2内任一按段光滑的曲线L,曲线积分 [Pdx+Ody +Rd= 与路线无关.只与L的起点及终点有关。 (ⅲ)P+Q+R肚是内某一函数u的全微分，即 du=Pdx+Ody+Rd 证明略 ++(e+x+(x+y 例3验证曲线积分 与路线无关，请求该表 达式的原函数化以). 解由于P=y+:,Q=+x,R=x+y ap oo 0o oR aR ap 故可示_立可：正=l,所以曲线积 M(xy.z) 分与路线无关.现求 +++场+6+法 Mdxoyo-a) j6。+obj6。+x灿j6+t M + =0%+Ξox-x)+(。+xy-o)+x+ye-o) =y+x+-(x%+x0+o0)】 取=%=0=0，即取M0为原点，则，y)=y+x+2《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 5 单连通区域：如果区域 V 内任一封闭曲线皆可以不经过 V 以外的点收缩于属 于 V 的一点，则称 V 为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域． 定理 22.5 设   3 R 为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续 偏导数，则以下四个条件是等价的： （ⅰ）对于  内任一按段光滑的封闭曲线 L ，有  + + L Pdx Qdy Rdz =0． （ⅱ）对于  内任一按段光滑的曲线 L ，曲线积分  + + L Pdx Qdy Rdz 与路线无关．只与 L 的起点及终点有关。 （ⅲ） Pdx + Qdy + Rdz 是  内某一函数 u 的全微分，即 du = Pdx + Qdy + Rdz . （ⅳ） x Q y P   =   ， y R z Q   =   ， z P x R   =   在  内处处成立． 证明 略 例 3 验证曲线积分 ( ) ( ) ( )  + + + + + L y z dx z x dy x y dz 与路线无关,请求该表 达式的原函数 u(x, y,z)． 解 由于 P = y + z ，Q = z + x ， R = x + y ， 故 x Q y P   =   = y R z Q   =   = z P x R   =   =1，所以曲线积 分与路线无关．现求 u(x, y,z)= ( ) ( ) ( )  + + + + + M M y z dx z x dy x y dz 0 = ( )  + x x y z ds 0 0 0 + ( )  + y y z x dt 0 0 + ( )  + z z x y dr 0 = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 y + z x − x + z + x y − y + x + y z − z = ( ) 0 0 0 0 0 0 xy + zx + yz − x y + x z + y z . 取 x0 = y0 = z0 = 0 ，即取 M0 为原点，则 u(x, y,z)= xy+ zx + yz ．