(数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海市大学数学系 .等wr器筒 -得wr-芒s 登4器 综合上述结果，便得所要证明的(3)式. 同样对于曲面S表示为x=x少，)和y=,时，可证得 川器是te (4) 叮t-f (5) 将(3)，(4)，(5)三式相加即得(2)式. 如果曲面S不能以：=红川的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若 于小块，使每一小块能用这种形式来表示.因而这时(2)式也能成立 公式（②）称为斯托克斯公式，也可写成如下形式： d-dx ! Pdx+Qdy +Rd P 2y++(-+0y-x 例2计算立 ,其中L为平面x+y+2=1与各 坐标面的交线，取逆时针方向为正向 00,10 解应用斯托克斯公式 f2y+:+(-+0y-x出 1.0.0 .0+4t0+h+0-2h 24t+2-1d1+1-3 2=2 《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 4 =    cos cos cos dxdy z P y P S            −   − = dS z P y P S            −   − cos cos  = dxdy y P dzdx z P S   −    . 综合上述结果，便得所要证明的（3）式． 同样对于曲面 S 表示为 x = x(y,z) 和 y = y(z, x) 时，可证得 dydz z Q dxdy x Q S   −    =  L Qdy ， （4） dzdx x R dydz y R S   −    =  L Rdz . （5） 将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式． 如果曲面 S 不能以 z = z(x, y) 的形式给出，则可用一些光滑曲线把 S 分割为若 于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立． 公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：        S P Q R x y z dydz dzdx dxdy =  + + L Pdx Qdy Rdz . 例 2 计算 ( ) ( ) ( )  + + − + − L 2y z dx x z dy y x dz ，其中 L 为平面 x + y + z = 1 与各 坐标面的交线，取逆时针方向为正向． 解 应用斯托克斯公式 ( ) ( ) ( )  + + − + − L 2y z dx x z dy y x dz = ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy S 1+1 + 1+1 + 1− 2  = dydz dzdx dxdy S 2 +2 −1  = 2 3 2 1 1+1− = ．