《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海市大学数学系 ∬6+tjjj0+kafa四+a2办=a =00 =0 二、斯托克斯公式 双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向的规定：右手法则. 定理22.4设光滑曲面S的边界L是按块光滑的连续曲线.若函数P,Q,R在 S(连同L)上连续，且有一阶连续偏导数，则 答借-器·偿-器.+w+ (2) 其中S的侧与L的方向按右手法则确定， 证明先证 h-器fPa (3) 其中曲面S由方程：=(，小确定，它的正侧法线方向数为人一，-刂，方向余 弦为(cosa,cosB,cosr）,所以 会， 若S在平面上投影区域为Pw,L在平面上的投影曲线为Γ.现由第二型曲线积分 的定义及格林公式有 fP达fPk恤号P 图为》架，生 _y正可y,所以 -号恤-S器h 从 得器}等器《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 3 = ( )  + V y x dxdydz = ( )    + a a a dz dy y x dx 0 0 0 = 4 0 2 2 1 a ay a dy a a  =      +  . 二、斯托克斯公式 双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向的规定：右手法则． 定理 22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按块光滑的连续曲线．若函数 P,Q, R 在 S （连同 L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R S           −    +        −   +           −    =  + + L Pdx Qdy Rdz （2） 其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定． 证明 先证 dxdy y P dzdx z P S   −    =  L Pdx ， （3） 其中曲面 S 由方程 z = z(x, y) 确定，它的正侧法线方向数为 (− ,− ,−1) x y z z ，方向余 弦为 (cos,cos ,cos ) ，所以   cos cos = −   x z ，   cos cos = −   y z ， 若 S 在平面上投影区域为 Dxy ，L 在平面上的投影曲线为  ．现由第二型曲线积分 的定义及格林公式有 ( )  L P x, y,z dx = ( ( ))   P x, y,z x, y dx = ( ( ))    − Dxy P x y z x y dxdy y , , , . 因为 P(x y z(x y)) y , , ,   = y z z P y P     +   ，所以 ( ( ))    − Dxy P x y z x y dxdy y , , , = dxdy y z z P y P S              +   − . 由于   cos cos = −   y z ，从而 dxdy y z z P y P S              +   − = dxdy z P y P S            −   −   cos cos