《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海市大学数学系 器aas们之 ∬y=k》-y=,d 广Ry,k-yc .:h-厂=h R+旷=h 其中S,S2都取上侧.又由于S在y平面上投影区域的面积为零，所以 丁R,y,=0 因此 t心xh+心xhh 月yhd 对于不是x少型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个y型区域 来讨论.详细的推导与格林相似. 空间区域'的体积公式： ∬+1+体t月xt+)止+d Aakdy 所1计莫形6-t+r++四h ,其中S是边长为a的正立方 体表面并取外侧。 解应用高斯公式，所求曲面积分等于 6t-26+ht 《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 2 dxdydz z R V    = ( ) ( )     Dxy z x y z x y dz z R dxdy , , 2 1 = ( ( ( )) ( ( )))  − Dxy R x, y,z x, y R x, y,z x, y dxdy 2 1 = ( ( ))  Dxy R x, y,z x, y dxdy 2 ( ( ))  − Dxy R x, y,z x, y dxdy 1 = ( )  2 , , S R x y z dxdy ( )  − 1 , , S R x y z dxdy = ( )  2 , , S R x y z dxdy ( )  − + 1 , , S R x y z dxdy 其中 1 2 S ,S 都取上侧．又由于 3 S 在 xy 平面上投影区域的面积为零，所以 ( , , ) 0 3 =  S R x y z dxdy ， 因此 dxdydz z R V    = ( )  2 , , S R x y z dxdy ( )  − + 1 , , S R x y z dxdy + ( )  3 , , S R x y z dxdy = R(x y z)dxdy S  , , 对于不是 xy 型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy 型区域 来讨论．详细的推导与格林相似． 空间区域 V 的体积公式： ( )dxdydz V  1+1+1 = xdydz ydzdx zdxdy S  + + ． V = xdydz ydzdx zdxdy S  + + 3 1 . 例 1 计算 ( ) ( )  − + + + S y x z dydz x dzdy y x z dxdy 2 2 ,其中 S 是边长为 a 的正立方 体表面并取外侧． 解 应用高斯公式，所求曲面积分等于 ( ( )) ( ) ( )        +   +   − +   V y x z dxdydz z x y y x z x 2 2