《数学分析》下册 第二十二章曲面积分 海南大学数学系 §3高斯公式与斯托克斯公式 教学目的学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲 线积分. 教学内容高斯公式：斯托克斯公式：沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条 件 (1)基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算 第二型曲线积分.懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的 第二型积分与路径无关的条件. (②)较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧. 教学建议本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托 克斯公式计算第二型曲线积分，要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边 界定向的关系. 教学程序 一、高斯公式 定理22.3设有空间区域r由分片光滑的双侧闭曲面S围成.若函数P,Q,R 在"上连续，且具有一阶连续偏导数，则 器+器h月t+Gka+ 其中S取外侧.称为高斯公式. E只刀警址月对 器t月Ptyt叮c.Mb 类似可证 和 这些结果相加便得到了高斯公式。 先'设是一个少型区域，即其边界曲面S由曲面 S,:=,以6eDn,S:=c以小eDg 及垂直于D,的边界的柱面S组成其中化S化川以.于是按三重积分的计算 方法有《数学分析》下册 第二十二章 曲面积分 海南大学数学系 1 §3 高斯公式与斯托克斯公式 教学目的 学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲 线积分． 教学内容 高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条 件． (1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算 第二型曲线积分． 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的 第二型积分与路径无关的条件． (2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧． 教学建议 本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托 克斯公式计算第二型曲线积分．要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边 界定向的关系． 教学程序 一、 高斯公式 定理 22．3 设有空间区域 V 由分片光滑的双侧闭曲面 S 围成．若函数 P,Q, R 在 V 上连续，且具有一阶连续偏导数，则 dxdydz z R y Q x P V            +   +   = P(x y z)dydz Q(x y z)dzdx R(x y z)dxdy S  , , + , , + , , ， 其中 S 取外侧．称为高斯公式. 证 只证 dxdydz z R V    = R(x y z)dxdy S  , , . 类似可证 dxdydz x P V    = ( )  S P x, y,z dydz 和 dxdydz y Q V    = ( )  S Q x, y,z dzdx . 这些结果相加便得到了高斯公式． 先 V 设是一个 xy 型区域，即其边界曲面 S 由曲面 2 S ： ( ) ( ) Dxy z = z2 x, y , x, y  ， 1 S ： ( ) ( ) Dxy z = z1 x, y , x, y  ， 及垂直于 Dxy 的边界的柱面 3 S 组成其中 z (x, y) z (x, y) 1  2 ．于是按三重积分的计算 方法有