第3期 张金成：容纳矛盾逻辑系统与悖论 ·211· 模型中可以得到证明， 可以为真、 定理9在系统S中， 系统S与经典系统的对比及修正如表1，其中， pta,P-a Bt, 正域与反域之间通过公理P*一P-。可以转换，辩 Pe∧7P-a卜Ba, 证矛盾命题成立. P+(P-a→B"）, 表1各个域上命题演算的对比 Pa→(，P-a→Ba) Table 1 The comparison of propositional calculus on each 都不是定理， field 以上定理说明，非经典矛盾P+“∧一P“不会得 领域 命题演算情况 出一切公式，因此不会导致整个演算崩溃， 全域U 全部的经典命题都成立 定理10在系统S中，(P+a∧P-“)与 单一正域+α全部的经典命题都成立，矛盾不能成立 P*a人一P-“都不是定理 全部的经典命题都成立，矛盾命题成立， 这在以后的语义模型中可以得到检验，即非经 单一不动域e悖论P+“nP“成立，演算坍塌为一个命 典矛盾不必然是定理。 题B 2.4“悖论定理”与不动域中的命题演算定理 定理11（悖论定理）P+P. 单一反域-α 全部的经典命题都成立，矛盾不能成立 证明由正反域对偶变换公理可以知道，在正 域与反域中，P+a+P;在不动域中，P++一P-； 3容纳矛盾系统S的语义模型 在不动域中，+e=-e=e,P+P.所以P是关于 3.1语义解释 正反域上P+一P的不动命题，正反域上的不动命 定义7容纳矛盾系统S的模型是一个有序二 题就是悖论，不动域命题是逻辑思维领域的不动点 元组(a,),记为M=(,),a是正反世界上的个 (笔者以后将证明“罗素悖论”也是集合论领域的一 体域，V称为以α为个体域的赋值，它满足以下3个 个不动点)，因此可以看出“悖论”在系统S中不再 条件的函数： 是被排除的怪物，它是系统的一个定理 1)对于系统中的每一个t,都有V(t)e; 定理12在不动域中，命题P→(P°→B)、 2)对于系统中的一个n元谓词An(n=1,2,…) P∧一P、P∧一P+B、B都是定理. 都有V(An)Ca”,即V(An)是a×a×…×a的一个 由以上不动域的定理可以看出，不动域e是一 子集，是a上的一个n元关系； 个悖论性的域，其中的命题既真又假，其中任何命题 3)正域+a={t1,2,…,n},反域-a={i1,i2, 都成立，任何命题又都不成立.在这个悖论性域中不 …,tn},即正域与反域是对等的，U=+aUeU-a心 能建立命题演算，经典逻辑演算在其中塌缩为一个 命题集合2={AlACa},A∈2是a的子集 逻辑命题，即B.命题演算在不动域e中的崩溃，并 合.A“是集合α上的命题，α是域的变元，只可能是 不影响整个逻辑系统在正反域上的有效.我们并不 +a、-&、e、U4种. 能证明B是定理，因此整个逻辑系统是成功的 定义8容纳矛盾系统S的模型为M=(,), Da Costa的次协调系统C,没有严格区分矛盾， 其中赋值V满足S中公式A的递归定义： 矛盾仍然用AΛA表示，该系统与经典逻辑相冲 1)如果A是原子公式P%,V(P)=0或者 突.系统S把矛盾放在不同域上区分为经典矛盾和 V(P)=1; 非经典矛盾，系统是经典系统的扩展，不与经典逻辑 2)如果A是公式B→C,V(B+C)=1当且仅当 相冲突 V(B)=0或V(C)=1;V(B→C)=0当且仅当 Da Costa的次协调系统C.使经典逻辑的邓 (B)=1且V(C)=0; 斯·司各特定律A“,A“卜B°失效，但且没有科学的 3)如果A是公式B∧C,V(B∧C)=1当且仅当 依据.系统S中邓斯·司各特定律并没有失效，但是 V(B)=1且V(C)=1;V(B∧C)=0当且仅当 非经典矛盾下“P+“,P-a上B+a”是失效的2] V(B)=0或V(C)=0; Da Costa的次协调系统C,虽然可以容纳矛盾， 4)如果A是公式BVC,V(BVC)=1当且仅当 但是并没有把矛盾解释清晰.系统S表明P∧一P可 V(B)=1或V(C)=1;V(BVC)=0当且仅当 以为真，实际上是矛盾的双方在不同域中可以为真 V(B)=0且V(C)=0; 或不动域命题可以为真，即P+a∧一P-“和p°∧一P 5)如果A是公式B,V(B)=1当且仅当