·212. 智能系统学报 第7卷 V(B)=0;V(B)=0当且仅当V(B)=1; 6)如果A是公式P+“或P-“(P是+a、-a的 4结论 一个划分)，V(P+a)=1当且仅当VP-)=0; 现行的所有数学分支基本上都可以建立在集合 V(P-a)=1当且仅当V(P*a)=0; 论的基础上，但是，自从集合论发现了悖论以后，围 7)如果A是公式P,V(P)=1当且仅当 绕着数学基础的争论产生了三大学派—形式主 V(P)=0,P是正反域上的不动命题. 义、逻辑主义和直觉主义.无论哪个学派，关于数学 定义9容纳矛盾系统S中，若在单一的域α中， 基础的最终意义目前还没有解决 A°在模型M=(,)中，恒有V(A“)=1,即MA°，则 什么是数学基础？笔者认为数学基础就是全部 公式A“称作系统S的有效公式，即为永真公式8. 数学的管理体制，当然它也是数学的一部分.这个管 3.2元定理 理机构有多个层次，最基本的应该是逻辑系统，次一 依据以上解释，可以证明容纳矛盾系统S的元 级的是各个具体领域中的数学公理系统，数学公理 系统只在具体某个数学领域中起作用，而逻辑系统 定理 引理1容纳矛盾系统S中的全部公式可以翻 无论在哪个层次都是通用的。 译成经典命题演算系统的公式，即系统S与经典命 为什么要建立数学基础？不建立数学基础不行 题演算系统等价. 吗？笔者认为建立数学基础的原因是数学中出现了 悖论、矛盾等，为了在数学中化解矛盾，就必须建立 证明容纳矛盾系统$中的任意公式，如果只 数学基础，它是数学发展到一定阶段的必然产物.就 在一个域中，即只含有单一的+α，则记为F(+a), 像人类社会的国家政府机构的建立一样，是矛盾发 或含有单一的-，则记为F(-α)，这种在一个域 展到不可调和的产物。 中的公式就可以被认为是经典公式，统一记它为 由于矛盾命题在不同领域中都可以为真，所以 F().如果系统S中的任意公式跨越正反2个域， 在容纳矛盾系统S中，任何数学真理都只是在一定 则统一记它为F(+a,-).根据公理P+a+一P-a 的条件下是真理，超出一定的条件它就成了谬误.任 可以得到Pa+一P+“,任一个含有-α反域的公式 意命题A本身并没有真假，或者既可能是真也可能 可以替换成正域命题演算公式.因此，系统S中跨越 是假，当它相对于自身的域都是真的，相对于非自身 正反2个域的公式F(+,-a),一定可以转化成 的域都是假的.因此，数学真理都是相对的，只有在 只含有单一+a的F(+α)，或只含有单一-&的 一个相对于自身的领域，数学真理才具有绝对性. F(-α)，即系统S中的任意公式可以转化成经典命 在不动域中，命题A°+一A°是定理，即为悖论定 题演算公式F(α).所以，容纳矛盾系统S与经典命 理，集合论中的“罗素悖论”也是集合中的不动点 题演算系统等价. 如果重新修正公理集合论系统，罗素悖论也会是其 由于容纳矛盾系统S与经典命题演算系统等 中的一个定理.在代数领域和其他领域，由于不动点 价，所以经典逻辑的元定理在系统S中仍然成立，根 的普遍存在，所以悖论也普遍存在，悖论与矛盾是不 据引理1可以很容易证明以下的定理13~18.证明 可排除的，也是不可打压的，只能承认接受，并给予 方法与经典逻辑系统方法相同910，这里不再给出. 其生存空间，合理地消化.例如在逻辑系统S中，一 定理13（可靠性定理）若SA“,则MFA 个具体的系统={A1,A2,…,An}中，对于2个相互 或V(A)=1. 矛盾的命题P与P,设M、M“是系统Σ在正反 定理14（一致性定理）在+α与-心中，不存 域上的2个模型，若P在M中为真，P在M 在公式A“,使得A和A“同时成立. 中为真，即M牛P,M骅P,则可以把P或者P 定理15（句法可判定性定理）存在一般程 加人到系统Σ中，在正反域中，可以得到2个新的 序，判定一公式是否为容纳矛盾系统S的定理。 扩大的系统U{P}和U{P{,这样矛盾就被系 定理16（语义可判定性定理）存在一般程 统在正反域中容纳了，反域、不动域作为矛盾与悖论 序，判定一公式是否为容纳矛盾系统S的有效公式， 的生存空间，在科学的前沿领域并没有建构完成，它 定理17（完全性定理）在容纳矛盾系统S中， 需要人们继续去合理构造， 若MFA或V(A)=1,则I上A“. 定理18（不一致性定理）在不动域e中，存在 参考文献： 公式P,使得上P°和上P同时成立 [1]S.C.克林元数学导论[M].莫绍揆，译.北京：科学出