(2)等时变分和微分 (为了叙述方便,我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难,请 同学们自行完成。) 在力学中我们经常运用的是自变量为t的函数q(t),训)等等。我们曾研究,随t的变化 引起的q的变化,在无限小情况下,用微分表示cq=qdt,我们现在要研究的,不是由 于t的变化,而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个t的q()的值的变化,称 为变分,函数q(的变分()=列()-q)(即列)=q+(),q(,q(,代表 两个相近的运动规律,q()是同一时刻t的可与q的差。既然如此,自然有t=0。这 种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数q(),其改变量应相当于δq而不是d 说明:从另一个角度来理解O=0。函数空间的一个确定的函数f()相当于一维空间的 个确定的数(常数)C;确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然dC=0是理 所当然的,6f()=0也就不难理解了。我们把看成一个确定的函数f()=t,bt=0 也就是顺理成章的了。 例 dq=atdr ()=(a+)2,oq()=q()-q()=72 例2.q()=1 d q (0)=2a“,=2a(-1)=2 ar" aInt满足6()=()=0 Bl 3. q(0)=Asinot, dq=oAcosotdt ()=(4+090,g=645mm满足y()(0 以上是某个参数引起的dq的几个实例;其实δq的形式是非常普遍的,并不限于某个或 某些参数的改变所引起 d (3)6与d,以及d的运算次序3 （2）等时变分和微分 （为了叙述方便，我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难，请 同学们自行完成。） 在力学中我们经常运用的是自变量为 t 的函数 q t( ), q (t) 等等。我们曾研究，随 t 的变化 引起的 q 的变化，在无限小情况下，用微分表示 dq = q dt ，我们现在要研究的，不是由 于 t 的变化，而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个 t 的 q t( ) 的值的变化，称 为变分，函数 q(t)的变分 q(t) = q(t)− q(t) （即 q(t) = q(t)+q(t) ）， q(t)，q t( ), 代表 两个相近的运动规律，  q t( ) 是同一时刻 t 的 q 与 q 的差。既然如此，自然有 t = 0 。这 种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数 q t( ) ，其改变量应相当于  q 而不是 dq 。 说明：从另一个角度来理解 t = 0 。函数空间的一个确定的函数 f t( ) 相当于一维空间的 一个确定的数（常数） C ；确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然 dC = 0 是理 所当然的，  f t( ) = 0 也就不难理解了。我们把 t 看成一个确定的函数 f t t ( ) = ，t = 0 也就是顺理成章的了。 例 1． ( ) 1 2 2 q t at = ， dq atdt = ( ) ( ) 1 2 2 q t a t = +  ， ( ) ( ) ( ) 1 2 2   q t q t q t t = − = 例 2． ( ) 1 2 q t at = ， 1 2 dq at dt  − = ( ) 1 2 q t at  + = ， ( ) 1 1 1 ln 2 2 q at t at t      = −   满足   q q (0 1 0 ) = = ( ) 例 3． q t A t ( ) = sin ， dq A t dt =    cos q t A A t ( ) = + (   )sin ，    q A t = sin 满足 q q (0 0 )       = =     以上是某个参数引起的  q 的几个实例；其实  q 的形式是非常普遍的，并不限于某个或 某些参数的改变所引起。 （3）δ与 d， dt d 以及 dt  的运算次序