考虑在t≤t≤t1的两条曲线(代表两个运动 规律,有时称之为轨道,其实和我们原有 的轨道概念是不同的。)q(t)(真实运动的位 q(t)+8 q(t) 置)和列(=q()+v)(邻近运动中无 限接近的为约束所允许的位置),起点和终 q(t+dtq(tp+dq(t) 点位置相同,q()=可(n),q1)=q(1) 即q(0)=6q(1)=0。(这个要求是下面讨 论哈密顿原理所要求的。思考:上面的例 题中,如何选取0和1才能满足这个要求?)考虑两曲线上的四个点M,N,M,N分 别对应于q(0),q(t+d),q()=q()+q()和可(t+dn)=q(t+d)+oq(t+d)。 我们用两种不同方法计算可(+dn) ●M→N→N (t+d)=q(1+dm)+aq(+d),q(t+d)=q(1)+dq() q()+dq()+6q(t)+6q( ●M→M→N (t+d)=q()+l(t), q()=q()+oq() =q()+oq()+q()+doq() 比较得od()=dq()即:在等时变分6=0的条件下,δ和d可以交换次序。 6=6()=()-dn(d) 6(d)d(q) dt dt dt 所以8和可交换次序。(在证明过程中用到了(dn)=d(o)=0) 我们进一步研究复合函数=f(q(),)在某一瞬时t,由于函数形式的变化引起q 的变化,q的变化引起的变化,不考虑∫的形式的改变即q()是函数空间的变点,而 ∫是确定的函数关系,这称为l的变分on=f(q()+(,)-f(q(),),所以 ,M(在多个q情况下表为=∑n。)。在此情况下,微分的运算 +gd与变分运算是很相似的但应注意,0=列()-0)与=d aq4 考虑在 t0≤t≤t1 的两条曲线（代表两个运动 规律，有时称之为轨道，其实和我们原有 的轨道概念是不同的。）q(t)（真实运动的位 置）和 q(t) = q(t)+q(t) （邻近运动中无 限接近的为约束所允许的位置），起点和终 点位置相同， ( ) ( ) 0 0 q t = q t ， ( ) ( ) 1 1 q t = q t 。 即δq(t0)＝δq(t1)＝0。（这个要求是下面讨 论哈密顿原理所要求的。思考：上面的例 题中，如何选取 0 t 和 1 t 才能满足这个要求？）考虑两曲线上的四个点 M，N， M ，N 分 别对应于 q t( ) ，q t dt ( + ) ，q t q t q t ( ) = + ( )  ( ) 和 q t dt q t dt q t dt ( + = + + + ) ( )  ( ) 。 我们用两种不同方法计算 q(t + dt)。 ⚫ M→N→ N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t dt q t dt q t dt q t dt q t dq t , ( ) q t dq t q t dq t    + = + + + + = + = + + + ⚫ M→ M → N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t dt q t dq t q t q t q t , q t q t dq t d q t    + = + = + = + + + 比较得   dq t d q t ( ) = ( ) 即：在等时变分 t = 0 的条件下，  和 d 可以交换次序。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 dq d dq dt dq dt dq d q q q dt dt dt dt dt          − = = = = =     所以δ和 dt d 可交换次序。（在证明过程中用到了   (dt d t ) = = ( ) 0 ） 我们进一步研究复合函数 u f q t t = ( ( ), ) 在某一瞬时 t ，由于函数形式的变化引起 q 的变化， q 的变化引起 u 的变化，不考虑 f 的形式的改变(即 q t( ) 是函数空间的变点，而 f 是确定的函数关系)，这称为 u 的变分   u f q t q t t f q t t = + − ( ( ) ( ), , ) ( ( ) ) ，所以 f u q q    =  （在多个 q 情况下表为 f u q q       =   ）。在此情况下，微分的运算 f f du dq dt q t     = +       与变分运算是很相似的。但应注意， q(t) = q(t)− q(t) 与 dq = q dt t q(t) q q(t+dt)=q(t)+dq(t) q(t)+δq(t) t0 t1 MM N N