第3期 毛华，等：三支概念的一种构建方法 ·515· CbO算法的基础上进行调整，提出了CbO3C算法 A={m∈MNg∈A(Im)》 用于构建三支概念；Qian等利用上位背景和下 属性集合BcM,定义 位背景，设计了一种三支概念构建方法；Mao等倒 B={g∈GVm∈B(Im)} 研究了标准概念与对象（属性）三支概念间的关 如果A=B和B=A同时成立，则称(X,A)为 系，并根据所得关系设计了构建三支概念的算 一个标准形式概念。所有负算子“”下成立的标 法；在其他方面，刘琳等利用属性三支概念对规 准形式概念(X,A)记成集合NCL(G,M,)。 则提取问题进行了讨论；Singhto通过对中智图、 定义3假设(G,M,D形式背景，<：P(G→ 中智格和Godel剩余格的性质分析，设计了基于 DP(M0和：DP(M)→P(G)分别为集合XSG和 模糊概念格生成分量式三支模糊概念的方法，并 A,BSM上的基于对象导出的算子。算子运算方 将其层次顺序可视化；Singh'四利用单值中智图的 式如下： 概念格的性质对医学数据集进行分析，提出了计 X=(X,X) 算三支模糊概念的欧几里德距离的方法。其他三 (A,B)>={x∈Gx∈A',x∈B}=A'nB 支概念格方面的研究参考文献[12-16。 (G,M,D是一个形式背景。<：P(M)→DP(G) 在采用矩阵结构进行三支概念的研究中，李 和>：DP(G)→P(M)分别为集合XY≤G和ASM 美争等可定义了对象-概念辨识矩阵来研究三支 上的基于属性导出的算子。算子运算方式如下： 近似概念的约简问题；陈雪等利用差别矩阵及 A=(A°，A), 差别函数计算得到了决策形式背景下的属性约简 (XY)>={w∈Mv∈X',veY=XnY 结果。 定义4形式背景(G,M,D,如果在对象集 本文将矩阵思想与三支概念构建的研究相结 合X二G,属性集合A,BSM上，X=(A,B)和 合，定义出属性（对象）矩阵，并利用属性（对象） (4,B)>=X同时成立，则称(X,(A,B)为对象三支 矩阵结构设计了构建三支概念的算法。 概念。全体(X,Y,A)记人集合OEL(G,M,D。 任意三支概念(X(A,B)和(Y,(C,D)之间的关 1基础知识 系定义如下： 对于相对成熟的矩阵理论，在此不做赘述，相 (X,(A,B)≤(Y,(C,D)台XSY台(C,D)≤(A,B) 性质1I对于集合XX1,X2cG:A,A,A2,B,B, 关内容详见文献[19]。本节将对利用到的标准形 B2SM,则有以下性质成立： 式概念及三支概念的一些定义及性质进行说明， (OE)XX,(A.B)C(A,B) 其中标准形式概念的内容详见文献[20]，三支概 (OE2)X1X2→X5≤X,(A1,B1)∈(A2,B2)→ 念的相关知识详见文献[3,5]。 (A2,B2)>≤(A1,B)> 定义10形式背景(G,M,D是由两个集合G (OE3)X=X-,(A,B)=(A,B)> 和M以及G与M间的二元关系I组成。G为对 (OE)XC(A,B)(A,B)CX 象集，M为属性集，IcG×M。在对象集合AsG (OEs)(XiUX2)=Xn,((A1,B)U(A2 中，令 B2)=(A1,B1)>n(A2B2) (OE6)(X1nX2)2XUX,(41,B1)n(A2 A':={m∈MLm对于任意g∈A} B2)>=(41,B1)>U(A2,B2) 其中Im表示对象3与属性m间满足二元关系 定义51形式背景(G,M,D,如果在属性集 I(或者对象g具有属性m)。 合ASM,对象集合XY二G上A=(X)和(X,Y)>=A 在属性集合BSM中，令 同时成立，则称(X,Y),A)为属性三支概念。全体 B:={g∈Gm对于任意m∈B吲 三支概念(X,Y),A)记入集合AEL(G,M,)。 若对集合A、B有A'=B和B=A同时成立， 对于任意的属性三支概念(X,),A)和 则(4，B)称为一个标准形式概念。其中标准形式 (Z,W,B),给出如下定义： 概念的外延为A,标准形式概念的内涵为B。 (X,Y),A)≤(Z,W,B)台(X,Y≤(Z,W)台B三A 所有基于正算子“”形成的概念(A,B)构成集 性质2的在集合XX1,X2,YY,Y2CG,A,A,A2S 合CL(G,M,D M上有以下性质成立： 任意的概念(A1,B1)与(42，B2)间的关系如下： (AE1)(X)(X,Y)>,AA> A1,B1)≤(A2,B2)台A1≤A2(台B12B2) (AE2)(Xi,Yi)C(X2,Y2)=(X2,Y2)C(Xi,Yi) 定义22o1假设(G,M,是一个形式背景， A1二A2→A2CA F=(G×M0-I,对象集合AcG,定义 (AE)(X,Y>=(X,Y)2,A=ACbO 算法的基础上进行调整，提出了 CbO3C 算法 用于构建三支概念；Qian 等 [7] 利用上位背景和下 位背景，设计了一种三支概念构建方法；Mao 等 [8] 研究了标准概念与对象 (属性) 三支概念间的关 系，并根据所得关系设计了构建三支概念的算 法；在其他方面，刘琳等[9] 利用属性三支概念对规 则提取问题进行了讨论；Singh[10] 通过对中智图、 中智格和 Gödel 剩余格的性质分析，设计了基于 模糊概念格生成分量式三支模糊概念的方法，并 将其层次顺序可视化；Singh[11] 利用单值中智图的 概念格的性质对医学数据集进行分析，提出了计 算三支模糊概念的欧几里德距离的方法。其他三 支概念格方面的研究参考文献 [12-16]。 在采用矩阵结构进行三支概念的研究中，李 美争等[17] 定义了对象−概念辨识矩阵来研究三支 近似概念的约简问题；陈雪等[18] 利用差别矩阵及 差别函数计算得到了决策形式背景下的属性约简 结果。 本文将矩阵思想与三支概念构建的研究相结 合，定义出属性（对象）矩阵，并利用属性（对象） 矩阵结构设计了构建三支概念的算法。 1 基础知识 对于相对成熟的矩阵理论，在此不做赘述，相 关内容详见文献 [19]。本节将对利用到的标准形 式概念及三支概念的一些定义及性质进行说明， 其中标准形式概念的内容详见文献 [20]，三支概 念的相关知识详见文献 [3, 5]。 (G, M,I) G M G M I G M I ⊆ G × M A ⊆ G 定义 1 [20] 形式背景 是由两个集合 和 以及 与 间的二元关系 组成。 为对 象集， 为属性集， 。在对象集合 中，令 A ∗ := {m ∈ M|Igm对于任意g ∈ A} Igm g m I g m 其中 表示对象 与属性 间满足二元关系 (或者对象 具有属性 )。 在属性集合 B ⊆ M 中，令 B ∗ := {g ∈ G|Igm对于任意m ∈ B} A ∗ = B B ∗ = A (A,B) A B 若对集合 A、B 有 和 同时成立， 则 称为一个标准形式概念。其中标准形式 概念的外延为 ，标准形式概念的内涵为 。 ∗ (A,B) CL(G, M,I) 所有基于正算子“ ”形成的概念 构成集 合 。 任意的概念 (A1,B1) 与 (A2,B2) 间的关系如下： (A1 ,B1) ⩽ (A2 ,B2) ⇔ A1 ⊆ A2(⇔ B1 ⊇ B2) (G, M,I) I c = (G × M)− I A ⊆ G 定义 2 [ 2 0 ] 假设 是一个形式背景， ，对象集合 ，定义 A ∗¯ = {m ∈ M|∀g ∈ A(I c gm)} 属性集合 B ⊆ M ，定义 B ∗¯ = {g ∈ G|∀m ∈ B(I c gm)} A ∗¯=B B ∗¯ = A (X,A) ∗¯ (X,A) NCL(G, M,I) 如果 和 同时成立，则称 为 一个标准形式概念。所有负算子“ ”下成立的标 准形式概念 记成集合 。 (G, M,I) <· : P(G) → DP(M) ·> : DP(M) → P(G) X ⊆ G A,B ⊆ M 定义 3 [5] 假设 形式背景， 和 分别为集合 和 上的基于对象导出的算子。算子运算方 式如下： X <· = (X ∗ ,X ∗¯ ) (A,B) ·> = {x ∈ G|x ∈ A ∗ , x ∈ B ∗¯ } = A ∗ ∩ B ∗¯ (G, M,I) <· : P(M) → DP(G) ·> : DP(G) → P(M) X,Y ⊆ G A ⊆ M 是一个形式背景。 和 分别为集合 和 上的基于属性导出的算子。算子运算方式如下： A <· = (A ∗ ,A ∗¯ ), (X,Y) ·> = {v ∈ M|v ∈ X ∗ , v ∈ Y ∗¯ } = X ∗ ∩Y ∗¯ (G, M,I) X ⊆ G A,B ⊆ M X <· = (A,B) (A,B) ·> = X (X,(A,B)) ((X,Y),A) OEL(G, M,I) 定义 4 [5] 形式背景 ，如果在对象集 合 ，属性集合 上 ， 和 同时成立，则称 为对象三支 概念。全体 记入集合 。 任意三支概念 (X,(A,B)) 和 (Y,(C,D)) 之间的关 系定义如下： (X,(A,B)) ⩽ (Y,(C,D)) ⇔ X ⊆ Y ⇔ (C,D) ⊆ (A,B) X,X1,X2 ⊆ G;A,A1,A2,B,B1, B2 ⊆ M 性质 1 [5] 对于集合 ，则有以下性质成立： (OE1) X ⊆ X <··> ,(A,B) ⊆ (A,B) ·><· (OE2) X1 ⊆ X2 ⇒ X <· 2 ⊆ X <· 1 ,(A1 ,B1) ⊆ (A2 ,B2) ⇒ (A2 ,B2) ·> ⊆ (A1 ,B1) ·> (OE3) X <· = X <··><· ,(A,B) ·> = (A,B) ·><··> (OE4) X ⊆ (A,B) ·> ⇔ (A,B) ⊆ X <· (OE5) (X1 ∪ X2) <· = X <· 1 ∩ X <· 2 ,((A1 ,B1)∪(A2 B2))·> = (A1 ,B1) ·> ∩(A2 ,B2) ·> (OE6) (X1 ∩ X2) <· ⊇ X <· 1 ∪ X <· 2 ,((A1 ,B1)∩(A2 , B2))·> = (A1 ,B1) ·> ∪(A2 ,B2) ·> (G, M,I) A ⊆ M X,Y ⊆ G A <· = (X,Y) (X,Y) ·> = A ((X,Y),A) ((X,Y),A) AEL(G, M,I) 定义 5 [5] 形式背景 ，如果在属性集 合 ，对象集合 上 和 同时成立，则称 为属性三支概念。全体 三支概念 记入集合 。 ((X,Y),A) ((Z,W),B) 对于任意的属性三支概念 和 ，给出如下定义： ((X,Y),A) ⩽ ((Z,W),B) ⇔ (X,Y) ⊆ (Z,W) ⇔ B ⊆ A X,X1,X2,Y,Y1,Y2 ⊆ G,A,A1 A2 ⊆ M 性质 2 [5] 在集合 ， 上有以下性质成立： (AE1) (X,Y) ⊆ (X,Y) ·><· ,A ⊆ A <··> (AE2) (X1 ,Y1) ⊆ (X2 ,Y2) ⇒ (X2 ,Y2) ·> ⊆ (X1 ,Y1) ·> A1 ⊆ A2 ⇒ A <· 2 ⊆ A <· 1 (AE3) (X,Y) ·> = (X,Y) ·><··> ,A <· = A <··><· 第 3 期 毛华，等：三支概念的一种构建方法 ·515·