第四章多项式插值 基本问题:研究用简单的函数近似代替一个复杂函 数在某些点上的值的方法。 §1代数多项式插值 Lagrange插值多项式 问题的提出: 设f(x)是区间[a,b上的一个实函数,x;(i=0,…,n) 是a,b上的n+1个互异实数,且已知y=f(x)在 x(i=0,1,…,m)处的函数值y(i=0,1,…,m),即有: y1=f(x;),(i=0,1,,n) 现要求一个次数不超过n的多项式P(x),使得 y1=Pn(x)(i=0,1,…,n) (*1) 这就是 Lagrange插值问题。 可设:P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anx 定义:(*1)称为插值条件,共有m+1个方程。 满足(*1)的多项式称为多项式插值问题的解。 x:(i=0,,n)称为插值节点,在不致混淆的情况下, 经常也简称为节点。∫(x)称为被插值函数,P(x)称 为插值多项式。 插值多项式的存在唯一性 Th1多项式插值问题的解是存在且唯一的 证:设所要求的多项式为:第四章 多项式插值 基本问题：研究用简单的函数近似代替一个复杂函 数在某些点上的值的方法。 §1 代数多项式插值 一、 Lagrange 插值多项式 问题的提出： 设 f (x) 是区间 [a,b] 上的一个实函数， x (i 0,1, ,n) i =  是 [a,b] 上的 n + 1 个互异实数，且已知 y = f (x) 在 x (i 0,1, ,n) i =  处的函数值 y (i 0,1, ,n) i =  ，即有： ( ) i xi y = f ， (i = 0,1,  ,n) 现要求一个次数不超过 n 的多项式 P (x), n 使得 y P (x ) (i 0,1, ,n) i = n i =  （*１） 这就是 Lagrange 插值问题。 可设： n Pn x = a + a x + a x ++ an x 2 0 1 2 ( ) 定义：（*１）称为插值条件，共有 n + 1 个方程。 满足（*１）的多项式称为多项式插值问题的解。 x (i 0,1, ,n) i =  称为插值节点，在不致混淆的情况下， 经常也简称为节点。 f (x) 称为被插值函数， P (x) n 称 为插值多项式。 1. 插值多项式的存在唯一性 Th1 多项式插值问题的解是存在且唯一的。 证：设所要求的多项式为：