第四章多项式插值 基本问题:研究用简单的函数近似代替一个复杂函 数在某些点上的值的方法。 §1代数多项式插值 Lagrange插值多项式 问题的提出: 设f(x)是区间[a,b上的一个实函数,x;(i=0,…,n) 是a,b上的n+1个互异实数,且已知y=f(x)在 x(i=0,1,…,m)处的函数值y(i=0,1,…,m),即有: y1=f(x;),(i=0,1,,n) 现要求一个次数不超过n的多项式P(x),使得 y1=Pn(x)(i=0,1,…,n) (*1) 这就是 Lagrange插值问题。 可设:P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anx 定义:(*1)称为插值条件,共有m+1个方程。 满足(*1)的多项式称为多项式插值问题的解。 x:(i=0,,n)称为插值节点,在不致混淆的情况下, 经常也简称为节点。∫(x)称为被插值函数,P(x)称 为插值多项式。 插值多项式的存在唯一性 Th1多项式插值问题的解是存在且唯一的 证:设所要求的多项式为:
第四章 多项式插值 基本问题：研究用简单的函数近似代替一个复杂函 数在某些点上的值的方法。 §1 代数多项式插值 一、 Lagrange 插值多项式 问题的提出： 设 f (x) 是区间 [a,b] 上的一个实函数， x (i 0,1, ,n) i = 是 [a,b] 上的 n + 1 个互异实数，且已知 y = f (x) 在 x (i 0,1, ,n) i = 处的函数值 y (i 0,1, ,n) i = ，即有： ( ) i xi y = f ， (i = 0,1, ,n) 现要求一个次数不超过 n 的多项式 P (x), n 使得 y P (x ) (i 0,1, ,n) i = n i = （*１） 这就是 Lagrange 插值问题。 可设： n Pn x = a + a x + a x ++ an x 2 0 1 2 ( ) 定义：（*１）称为插值条件，共有 n + 1 个方程。 满足（*１）的多项式称为多项式插值问题的解。 x (i 0,1, ,n) i = 称为插值节点，在不致混淆的情况下， 经常也简称为节点。 f (x) 称为被插值函数， P (x) n 称 为插值多项式。 1. 插值多项式的存在唯一性 Th1 多项式插值问题的解是存在且唯一的。 证：设所要求的多项式为：
P, (x)=ao+ax+a,x+.+a,x 只要当中的系数a1(=0,1,…n)定下来,多项式就定 下来。 则由插值条件(*1)可得关于系数 a1(i=0,1,…,m)的线性方程组: ao+aro taro +. tanto =yo 0+a1x1+a211+…+n1=y1 (*2) n+lx.+ax+∷+a.x 其系数行列式为 andermonde行列式: 2 n D sk<isn 由于x、(i=0,1,…,n)是互异的插值节点,故上式系数 行列式的值不为0。由 Cramer法则可知,(*2)式 有解,且唯 但是,如果用这种方法来求方程组的解,很烦 琐,很难计算。我们一般采用其他方法来求其近似 解 2. Lagrange插值公式
n Pn x = a + a x + a x ++ an x 2 0 1 2 ( ) ， 只要当中的系数 a (i 0,1, n) i = 定下来，多项式就定 下来。 则由插值条件（ * １ ） 可 得 关 于 系 数 a (i 0,1, ,n) i = 的线性方程组： + + + + = + + + + = + + + + = n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y 2 0 1 2 1 1 2 0 1 1 2 1 0 0 2 0 1 0 2 0 （*2） 其系数行列式为 Vandermonde 行列式： ( ), 1 1 1 0 2 1 2 1 1 0 2 0 0 = = − j i n i j n n n n n n x x x x x x x x x x x D 由于 x (i 0,1, ,n) i = 是互异的插值节点，故上式系数 行列式的值不为 0。由 Cramer 法则可知，（*2）式 有解，且唯一。 但是，如果用这种方法来求方程组的解，很烦 琐，很难计算。我们一般采用其他方法来求其近似 解。 2 . Lagrange 插值公式
下面用基函数的方法来构造满足 y=P(x)(=0,1,…,n)的多项式。 首先考虑最简单的插值多项式:在[a,b上有 两个插值节点x,x1,且已知∫(x)在节点上的函数值 yn,y。现在要求一个多项式P(x),使得: P1(x;) (米3) 若能够找到这样的函数,即: 且次数不能超过1。使 xo)=y 4(xo)=yoo(xo)+y L(*o) =0 y×1+y×0=yo P(,)=y4(x1)=yolo(x1)+y L(x1) y×0+y1×1=y 恰好满足(*3)的要求。问题在于怎样求出这样的 x 不妨先求l(x),考虑到l(x)在x1处函数值为 0,且它的次数不能超过1,显然应包括x-x这个 因子,则l(x)=A(x-x1),又l(x)在x0处函数值
下 面 用 基 函 数 的 方 法 来 构 造 满 足 y P (x ) (i 0,1, ,n) i = n i = 的多项式。 首先考虑最简单的插值多项式：在 [a,b] 上有 两个插值节点 0 1 x , x ，且已知 f (x) 在节点上的函数值 0 1 y , y 。现在要求一个多项式 ( ) P1 x ，使得： ( ) ( 0,1) P1 xi = yi i = （*3） 若能够找到这样的函数，即： = = i j i j l i x j 0 1 ( ) ， 且次数不能超过 1。使： 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) y y y P x y l x y l x y l x i i i = + = = = + = 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y y y P x y l x y l x y l x i i i = + = = = + = 恰好满足（*3）的要求。问题在于怎样求出这样的 l i (x), i = 0,1 。 不妨先求 ( ) 0 l x ，考虑到 ( ) 0 l x 在 x1 处函数值为 0，且它的次数不能超过 1，显然应包括 x − x1 这个 因子，则 ( ) ( ) 0 x A x x1 l = − ，又 ( ) 0 l x 在 0 x 处函数值
为1,故A 则可得:l0(x) 同理可求出l1(x)的表达式,考虑到l1(x)在x0 处函数值为0,且它的次数不能超过1,显然应包 括x-x这个因子,则l1(x)=A(x-x0),又l1(x) 在x1处函数值为1,故A= x1-x0,则可得: r- y〓 0 x-1 x-x 故:P1(x)=y 1, 0 d 0 称之为线性插值多项式 在[a,b上有三个插值节点x,x1,x2,且已知 f(x)在节点上的函数值y,y1,y2。现在要求一个多 项式P2(x),使得: i=0,J,2) 若能够找到这样的函数,即: ∫1i 0i≠j
为 1，故 0 1 1 x x A − = ，则可得： 0 1 1 0 ( ) x x x x l x − − = 。 同理可求出 ( ) l 1 x 的表达式，考虑到 ( ) l 1 x 在 x0 处函数值为 0，且它的次数不能超过 1，显然应包 括 x − x0 这个因子，则 ( ) ( ) 1 x A x x0 l = − ，又 ( ) l 1 x 在 1 x 处函数值为 1，故 1 0 1 x x A − = ，则可得： 1 0 0 1 ( ) x x x x l x − − = 。 故： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 1 1 1 0 x x x x y x x x x P x y − − + − − = ， 称之为线性插值多项式。 在 [a,b] 上有三个插值节点 0 1 2 x , x , x ，且已知 f (x) 在节点上的函数值 0 1 2 y , y , y 。现在要求一个多 项式 ( ) P2 x ，使得： ( ) ( 0,1,2) P2 xi = yi i = （*4） 若能够找到这样的函数，即： = = i j i j l x i j 0 1 ( )
且次数不能超过2。则 P2(x)=∑y1(x)=y(x)+y41(x)+24(x) y×1+y1×0+y2×0=y )=∑yl(x)=y(x)+y4(x1)+y2(x) i=0 y×0+y1×1+y2×0=y1 P2(x2)=∑yl(x)=y(x)+y4(x2)+2l2(x2) i=0 y0×0+y1×0+y2×1=y2 恰好满足(*4)的要求。问题在于怎样求出这样的 l;(x),i=0,1,2。 不妨先求l(x),考虑到l(x)在x1,x2处函数值 为0,且它的次数不能超过2,显然应包括 (x-x1)(x-x2)这个因子, (x)=A(x-x1)(x-x2) 又l0(x)在x处函数值为1, 故
且次数不能超过 2。则： 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 2 2 0 2 0 2 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x i i i = + + = = = + + = 0 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x i i i = + + = = = + + = 0 1 2 2 0 0 2 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x i i i = + + = = = + + = 恰好满足（*4）的要求。问题在于怎样求出这样的 l i (x), i = 0,1,2 。 不妨先求 ( ) l 0 x ，考虑到 ( ) 0 l x 在 1 2 x , x 处函数值 为 0， 且 它 的 次 数 不 能 超 过 2， 显 然 应 包 括 ( )( ) x − x1 x − x2 这个因子， 则 ( ) ( )( ) 0 x A x x1 x x2 l = − − ， 又 ( ) 0 l x 在 0 x 处函数值为 1， 故 ( )( ) 1 0 1 0 2 x x x x A − − =
则可得: (x-x1)(x-x2) x0-x1)(x0-x 0 0 同理可求出l1(x)、l2(x)的表达式,考虑到l1(x) 在x0,x2处函数值为0,且它的次数不能超过2,显 然应包括(x-x0)(x-x2)这个因子, (x=A(x-x 0( 2)9 又l1(x)在x处函数值为1, 故 (x1-x0)(x1-x2) (x-x0)(x-x2) 则有:l1(x)= (x1-x0)( 考虑到l2(x)在x,x处函数值为0,且它的次 数不能超过2,显然应包括(x-x0)(x-x1)这个因 子,则l2(x)=A(x-x)(x-x1),又l2(x)在x2处 函数值为1,故4=(x2-xx2-x),则有 (x-x0)(x-x1) 故
则可得： ( )( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x − − − − = 。 同理可求出 ( ) 1 l x 、 ( ) l 2 x 的表达式，考虑到 ( ) 1 l x 在 0 2 x , x 处函数值为 0，且它的次数不能超过 2，显 然应包括 ( )( ) x − x0 x − x2 这个因子， 则 ( ) ( )( ) 1 x A x x0 x x2 l = − − ， 又 ( ) l 1 x 在 1 x 处函数值为 1， 故 ( )( ) 1 1 0 1 2 x x x x A − − = ， 则有： ( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 1 x x x x x x x x l x − − − − = 。 考虑到 ( ) 2 l x 在 0 1 x , x 处函数值为 0，且它的次 数不能超过 2，显然应包括 ( )( ) x − x0 x − x1 这个因 子，则 ( ) ( )( ) 2 x A x x0 x x1 l = − − ，又 ( ) 2 l x 在 x2 处 函数值为 1，故 ( )( ) 1 x2 x0 x2 x1 A − − = ，则有： ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 x x x x x x x x l x − − − − = 。 故：
P2(x)=J0× (x-x1)(x-x2)+y (x-x0)(x-x2) )(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x-x0)(x-x1) 1, (x2-x0)(x2-x1) 称为抛物插值多项式 在a,b上有n个插值节点x0,x1,…xn,且已知 f(x)在节点上的函数值ya,y,…yn。现在要求一个 多项式P(x),使得 Pn(x)=y;(i=0,1,…,n)(*5) 若能够找到这样的函数,即 l;(x,)= 0i≠j 且次数不能超过n。则 P(x)=∑(x)=p1(x)+y4(x)+…+,M1(x) J×1+y1×0+…+yn×0 x)=∑4(x)=1(x)+y4(x)+…+y(x) i=0 J×0+y1×1+…+ynX0=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x P x y − − − − + − − − − + − − − − = 称为抛物插值多项式。 在 [a,b] 上有 n 个插值节点 x x xn , , 0 1 ，且已知 f (x) 在节点上的函数值 n y , y , y 0 1 。现在要求一个 多项式 P (x) n ，使得 P (x ) y (i 0,1, ,n) n i = i = （*5） 若能够找到这样的函数，即： = = i j i j l i x j 0 1 ( ) 且次数不能超过 n 。则 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x n n n n i n i i = + + + = = = + + + = 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y P x y l x y l x y l x y l x n n n n i n i i = + + + = = = + + + = ……………………………………………………… ……
P(x)=∑y1(x)=y4(x)+P4(x)+…+yn(xn) J×0+y1×0+…+ynx=yn 恰好满足(*5)的要求。问题在于怎样求出这样的 l;(x) 不妨先求l0(x),考虑到l(x)在x1,x2…,xn处函 数值为0,且它的次数不能超过n,显然应包括 (x-x1)(x-x2)…(x-xn)这个因子,则: 0(x)=A(x-x1)(x-x2)…(x-xn), 又l0(x)在x处函数值为1,故: 4= (x0-x1)(x0-x2)…(x0-xn) 则可得: X-d )( r-d r-d l0(x) (x0-x1)(x0-x2)…(x-xn) 同理可求出l1(x),l2(x),…,ln(x)的表达式, 则可得: r-nolr-x (x1-x0)(x1-x2)…( n
n n n n n n n n i n n i i n y y y y P x y l x y l x y l x y l x = + + + = = = + + + = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 1 1 0 恰好满足（*5）的要求。问题在于怎样求出这样的 l i (x) i = 0,1, ,n ， 不妨先求 ( ) l 0 x ，考虑到 ( ) 0 l x 在 x x xn , , 1 2 处函 数值为 0，且它的次数不能超过 n ，显然应包括 ( )( ) ( ) x − x1 x − x2 x − xn 这个因子，则： ( ) ( )( ) ( ) 0 x A x x1 x x2 x xn l = − − − ， 又 ( ) l 0 x 在 x0 处函数值为 1，故： ( )( ) ( ) 1 x0 x1 x0 x2 x0 xn A − − − = ， 则可得： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 1 2 0 n n x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − = 。 同理可求出 ( ) 1 l x ， ( ) 2 l x ， ,l (x) n 的表达式， 则可得： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 0 2 1 n n x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − = 。 …………………………………………………
(x-x0)(x-x1)…(x-xn1) (xn-x0)(xn-x1)…(xn-xn-1)° 即 1(x)=(x=)(x=x1)x=x1)…(x=x2) Xi -5o 1)(x1-x+1)…(x-xn) X-X (i=0,1,…n) (x-x1) 称l(x)为拉格朗日插值基函数。 称P(x)=y00(x)+y14(x)+…+ynln(x) ∑y(x) 为拉格朗日插值多项式。 例1、已知√100=10,√121=11y144=12分别用线性 插值和抛物插值求√125的近似值。 解:①、选x=100,x1=121则:y=10,y1=11 P(x)=10x-121 +1x-100 100-121 121-100 得:√125≈P(125)=9048 ②选x=121,x=144则:y=11,y1=12
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 − − − − − − − − = n n n n n n x x x x x x x x x x x x l x 。 即 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − 0, ( ) ( ) n j j j i i j x x x x = − = − （ i n = 0,1, ） 称 ( ) i l x 为拉格朗日插值基函数。 称 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) P x y l x y l x y l x n n n = + + + = 0 ( ) n i i i y l x = 为拉格朗日插值多项式。 例 1、已知 100 = 10, 121 = 11, 144 = 12 分别用线性 插值和抛物插值求 125 的近似值。 解：①、选 x0 = 100, x1 = 121 则： y0 = 10, y1 = 11 121 100 100 11 100 121 121 1 ( ) 10 − − + − − = x x P x 得： 125 P1 (125) = 11.19048 ②、选 x0 = 121, x1 = 144 则： y0 = 11, y1 = 12
P1(x)=11 x-144 x-121 +12 121-144 144-121 得:√125≈P(125)=1.17391 ③、选x=100,x1=121,x2=144 则:y=10,y1=11y2=12 P2x)=1/x(x-121)(x-144)+1X(-100)(x-144 (100-121)(100-144)(121-100(121-144) +12×(x-100)(x-121) (144-100)(144-121) 得:√25≈P2(125)=118107 而√125≈111803398 f(125)-√25≈1119048-11.1803398≈0.01014 F(25)-√125≈11.17391-1.180398≈-00643 P2(125)-√25≈18107-111803398…≈0.0003 可以看出:抛物插值比线性插值的结果精确;两个 线性插值中B(125)比R(125)的结果精确 实际上,通常称插值节点所界定的范围 minx,maxx;|为基本插值区间。当点x位于该区 0≤in·0<in 间内时,插值过程称为内插,否则称为外推。一般 来说,内插比外推的效果要好。故对于上题的两个
144 121 121 12 121 144 144 1 ( ) 11 − − + − − = x x P x 得： 125 P1 (125) = 11.17391 ③、选 x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144 则： y0 = 10, y1 = 11, y2 = 12 (144 121) ( 121) (144 100) ( 100) 12 (121 144) ( 144) (121 100) ( 100) 11 (100 144) ( 144) (100 121) ( 121) ( ) 10 2 − − − − + − − − − + − − − − = x x x x x x P x 得： 125 P2 (125) = 11.18107 而 125 11.1803398 1P (125) 125 11.19048 11.1803398 0.01014 − − 1P(125) 125 11.17391 11.1803398 0.00643 − − − 2P (125) 125 11.18107 11.1803398 0.00073 − − 可以看出：抛物插值比线性插值的结果精确；两个 线性插值中 1P (125) 比 1P (125) 的结果精确。 实际上，通常称插值节点所界定的范围 0 0 min ,max i i i n i n x x 为基本插值区间。当点 x 位于该区 间内时，插值过程称为内插，否则称为外推。一般 来说，内插比外推的效果要好。故对于上题的两个
