计算方 主讲:鲁文英 08 mRs indo clo sertohetreae frhtc ton
主讲：鲁文英
计算方法 第一章绪论 第二章非线性方程求解 第三章线性方程组解法 第四章插值法 第五章曲线拟合和函数逼近 第六章数值积分和数值微分 第七章常微分方程数值解法 第八章矩阵特征值计算
第一章 绪论 第二章 非线性方程求解 第三章 线性方程组解法 第四章 插值法 第五章 曲线拟合和函数逼近 第六章 数值积分和数值微分 第七章 常微分方程数值解法 第八章 矩阵特征值计算 计算方法
计算方法 第一章:绪论 §1.1计算方法的研究对象与特点 实际问题→数学问题提供计算方法 程序设计→上机计算→结果分析
§1.1计算方法的研究对象与特点 第一章: 绪论 实际问题 数学问题 提供计算方法 程序设计 上机计算 结果分析 计算方法
基本的数学问题: 1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2矩阵A的特征值和特征向量计算; 3非线性方程∫(x)=0求解(求根) 4积分∫f(xM计算; 5常微分方程初值问题求解; 6其它
基本的数学问题: 1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。 f ( x) = 0 f x dx b a ( )
问题在于求精确解(值)一般非常困难。例如: 1.方程组阶数n很大,例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年 好方法不到一分钟。另外,有计算结果可靠性 问题。 2.特征值定义 Ax=2x(x≠0 Ax-入x=0(A-xD)x=0 -x/=0
问题在于求精确解(值)一般非常困难。例如： 1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。 2. 特征值定义 Ax = x (x 0) Ax − x = 0 (A − I)x = 0 | A− I |= 0
3.∫(x)形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解,如 y+2-y=1y(0)=y(0)=1 非线性方程难解,如 e"y+siny2-y=1y(0)=y(0)=1 希望:求近似解,但方法简单可行,行之有效 (计算量小,误差小等)。以计算机为工 具,易在计算机上实现。 计算机运算:只能进行加,减,乘,除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法:把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加,减,乘,除等基本运算 数值方法
3. 形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解， 如 非线性方程难解，如 f ( x) 2 1 " ' y + y − y = (0) (0) 1 ' y = y = sin 1 " 2 e y + y − y = y (0) (0) 1 ' y = y = 希 望： 求近似解，但方法简单可行，行之有效 （计算量小，误差小等）。以计算机为工 具，易在计算机上实现。 计算机运算: 只能进行加，减，乘，除等算术运 算和一些逻辑运算。 计算方法： 把求解数学问题转化为按一定次序只 进行加，减，乘，除等基本运算—— 数值方法
计算方法的研究对象和内容就是研究求解 各种数学问题的数值方法及其理论,并且 将方法在计算机上实现,求出问题的数值 解,或者说是问题的近似解。主要体现在 第二步至第六步 我们在学习中要注意不但要掌握和使用算 法,还要适当重视必要的理论分析,也就 是分析算法的收敛性、稳定性、误差分析 等,这样才能保证计算结果的可靠性
▪ 计算方法的研究对象和内容就是研究求解 各种数学问题的数值方法及其理论，并且 将方法在计算机上实现，求出问题的数值 解，或者说是问题的近似解。主要体现在 第二步至第六步。 ▪ 我们在学习中要注意不但要掌握和使用算 法，还要适当重视必要的理论分析，也就 是分析算法的收敛性、稳定性、误差分析 等，这样才能保证计算结果的可靠性
81.2误差基础知识 误差来源(分类) 1.模型误差。 2.观测误差。 3.截断误差,如 3 5 SIna x 3!5! 3 5 I sin x-(-= 3! 5! 右端是截断误差
§1.2 误差基础知识 ...... , 3! 5! sin 3 5 = − + − x x x x ...... 5! ) 3! sin ( 3 5 − − = − x x x x 一 .误差来源（分类） 1. 模型误差。 2. 观测误差。 3. 截断误差，如 右端是截断误差
4.舍入误差。计算机字长有限,一般实数不能精确 存储,于是产生舍入误差。例如:在10位十进 制数限制下: 1÷3=0.333333333应1÷3=0.33339 (1.0002110000-=0 (本应Q.000002)2-1.00004 =1.000004000004-1000004 =000000000004=4×10-12) 舍入误差很小,本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制
4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确 存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进 制数限制下： 舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中 是否能有效控制。 1 3 = 0.3333333333(本应1 3 = 0.33333333333） 2 (1.000002) 1.000004 0 − = ） 本应（ ） 1 2 2 0.000000000004 4 10 1.000004000004 1.000004 ( 1.000002 1.000004 − = = = − −
二.误差基本概念 1.绝对误差。设X—准确值,x—近似值。 称 为的绝对误差 e(x)=x-x为x的绝对误差限。 Le(x)s8 2.相对误差。称 为的相对误差 实用中,常用2(x)表示的相对误差 (x 称 为的相对误差限。 er(x≤E,x
二．误差基本概念 1．绝对误差。设 ——准确值， ——近似值。 称 为 的绝对误差。 为 的绝对误差限。 2．相对误差。称 为 的相对误差。 实用中，常用 表示 的相对误差。 称 为 的相对误差限。 x * x * * e(x ) = x − x | ( )| * e x * x * x x x x r e e ( *) ( *) = * x * ( *) x e x r er ( x*) * x * x