习题一: 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,试 指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限, 相对误差限。 (2)x2=0.032(4)x4=65.430(6)x6=0.10×10 解:四舍五入得到的近似数的误差都不超过其末位 的半个单位,从其最后一位数字开始到前面第一个 非零数字为止的所有数字,均是有效数字 故有效数字的位数分别为2,5,2 由有效数字与绝对误差限的关系:E=×10″-m x=0.32×101x4=065430×10 m分别为-1,2,3 解得绝对误差限分别为: 2×10-1-2_1 =×10-3 2 E4=×1025=×10-3 10 212 ×10 由有效数字与相对误差限的关系:Er≤ 2axlol-n
习题一： 1．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试 指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限， 相对误差限。 ⑵ * 2 x = 0.032 ⑷ * 4 x = 65.430 ⑹ * 3 6 x = 0.10 10 解：四舍五入得到的近似数的误差都不超过其末位 的半个单位，从其最后一位数字开始到前面第一个 非零数字为止的所有数字，均是有效数字。 故有效数字的位数分别为 2，5，2 由有效数字与绝对误差限的关系： 1 10 2 m n − = * 1 2 x 0.32 10− = * 2 4 x = 0.65430 10 m 分别为-1，2，3 解得绝对误差限分别为： 1 2 3 2 1 1 10 10 2 2 − − − = = 2 5 3 4 1 1 10 10 2 2 − − = = 3 2 6 1 1 10 10 2 2 − = = 由有效数字与相对误差限的关系： 1 1 1 10 2 n r a −
2 6r22×3 ×10 10 6r4=×101-51,4 6 10 ×10 2×1 2.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 0.1×10-2,问各近似值分别应取几位有效数字? 101 解:由定理1知,E,≤×10n。 由于=0.9…×10,所以a1=9。 101 欲使6≤×10 ×10=m<0.1×10 2 2×9 解得:103n≤1.8 至少应取n=3,即3位有效数字。 4.计算∫=(2-1),取√2≈14,利用下列等
1 2 1 2 1 1 10 10 2 3 6 r − − = = 1 5 4 4 1 1 10 10 2 6 12 r − − = = 1 2 1 6 1 1 10 10 2 1 2 r − − = = 2．为使下列各数的近似值的相对误差限不超过 2 0.1 10− ，问各近似值分别应取几位有效数字？ 2 1 101 x = 解：由定理 1 知， 1 1 1 10 2 n r a − 。 由于 1 2 0.9 10 101 − = ，所以 1 a = 9 。 欲使 1 1 2 1 1 1 10 10 0.1 10 2 2 9 n n r a − − − = 解得： 3 10 1.8 −n 至少应取 n = 3 ，即 3 位有效数字。 4．计算 6 f = − ( 2 1) ，取 2 1.4 ，利用下列等
价表达式计算,哪一个效果最好?为什么? (1) (2)(3-22)3 (√2+1 (3) (4)99-70 (3+2√2 解:第(3)个计算的结果最好。 由原则三:“避免两相近的数相减”,可排除(2)、 由原则五:“简化计算步骤,减少运算次数”,可排 除(1)。 7.利用等式变换使下列表达式的结果比较精确。 (1) COSX ,x≠0且x1
价表达式计算，哪一个效果最好？为什么？ （1） 6 1 ( 2 1) + ； （2） 3 (3 2 2) − ； （3） 3 1 (3 2 2) + ； （4） 99 70 2 − 解：第（3）个计算的结果最好。 由原则三：“避免两相近的数相减”，可排除（2）、 （4）， 由原则五：“简化计算步骤，减少运算次数”，可排 除（1）。 7．利用等式变换使下列表达式的结果比较精确。 （1） 1 cos sin x x − ， x x 0 1 且 ； （2） 1 1 1 2 1 x x x − − + + ， x 1 ； （3） 1 1 x x x x + − − ， x 1 ； （4） 1 2 1 x x dt t + + ， x 1
2x 1-coS x 2 sin 解:(1)(方法一) tan sinx 2sin--cos (方法二) cosx (1-cos x)(1+cos x) 1-coS x Sinx sIn x sin x(1+cos x) sinx(1+cos x) 1+cosx (2) 11-x1+x-(1+2x)(1-x) 1+2x1+x(1+2x)(1+x) 2x (1+2x)(1+x) (3) x x+-+lx x+-+,x x 2 x+-+x xx+-+x x d x+1 (4) arctan(x+1)-arctan x x 1+t
解：（1）（方法一） 2 2sin 1 cos 2 tan sin 2 2sin cos 2 2 x x x x x x − = = （方法二） 2 1 cos (1 cos )(1 cos ) 1 cos sin sin sin (1 cos ) sin (1 cos ) 1 cos x x x x x x x x x x x − − + − = = = + + + （2） 1 1 1 2 1 x x x − − + + 1 (1 2 )(1 ) (1 2 )(1 ) x x x x x + − + − = + + 2 2 (1 2 )(1 ) x x x = + + （3） 1 1 1 1 ( )( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + − − + + − + − − = + + − 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 ( ) x x x x x x x x x x x x x + − − = = + + − + + − （4） 1 2 arctan( 1) arctan 1 x x dt x x t + = + − +
x+1-x = arctan arctan 1+(x+1)x 2 1+x+x 习题 2.方程f(x)=x2-09X-8.5=0在区间[34]中 有一实根,若用二分法求此根,使其误差不超过 1072,问应将区间对分几次?并用二分法求此根。 解:由题意,xE34]若要-x15102,则 2(6 (4-3) 2n+1 2n 2 解得n2 1≈56,故取n=6,即将区间二分 g 六次即可。 n 03(-)4(+)35 3 3.5 3.25 2 3.25 3.5 3.375 3 3.375 3.5 3.4375 十 3.375 343753.4062 5
2 1 1 arctan arctan 1 ( 1) 1 x x x x x x + − = = + + + + 习题二： 2．方程 2 f x x x ( ) 0.9 8.5 0 = − − = 在区间 3,4 中 有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超过 2 10− ，问应将区间对分几次？并用二分法求此根。 解：由题意， * x 3,4 。若要 * 2 10 k x x − − ，则 2 1 1 1 1 1 1 ( ) (4 3) 10 2 2 2 n n n b a − + + + − = − = 解得 2 1 5.6 lg 2 n − ，故取 n = 6 ，即将区间二分 六次即可。 n an n b n x ( ) n f x 0 3（-） 4（+） 3.5 + 1 3 3.5 3.25 - 2 3.25 3.5 3.375 - 3 3.375 3.5 3.4375 + 4 3.375 3.4375 3.4062 5 +
5 3.375 340623.3906 25 339063.406233984 25 5 375 7.下面是求√a(a>0)的两个迭代格式 (1)xn1=(xn+2)(2)xn+1=(xn+ 8ax a+3 求它们的收敛阶。 解(1)(x)=n1× (*1) (√G)=(√a+) √a是x=0(x)的根。 我们将(*1)式进行变形,得2x0(x)-x2-a=0 方程两边对x进行求导,得 2xq(x)+20(x)-2x=0→q(Va)=0 再对上式求导,得 2x"(x)+4(x)-2=0→0"(√a) ≠0
5 3.375 3.4062 5 3.3906 25 - 6 3.3906 25 3.4062 5 3.3984 375 - 7．下面是求 a a( 0) 的两个迭代格式： （1） 1 1 ( ) 2 n n n a x x x + = + （2） 1 2 1 8 ( ) 3 3 n n n n ax x x a x + = + + 求它们的收敛阶。 解 （1） 1 ( ) ( ) 2 a x x x = + （*1） 1 ( ) ( ) 2 a a a a a = + = a 是 x x =( ) 的根。 我们将（*1）式进行变形，得 2 2 ( ) 0 x x x a − − = 方程两边对 x 进行求导，得 2 '( ) 2 ( ) 2 0 x x x x + − = '( ) 0 a = 再对上式求导，得 2 ''( ) 4 '( ) 2 0 x x x + − = 1 ''( ) 0 a a =
故所给迭代格式为二阶收敛。 8ax (2)Q(x)==(x+ 2 )(*2) 3a+3x 8a ∴(√a)=(a+ a+3a a是x=p(x)的根。 我们将(*2)式进行变形,得 (a+3x2)(x)-3ax-x3=0 方程两边对x进行求导,得 6x(x)+(a+3x2)q(x)-3x2-3a=0 →q(√a)=0 对上式求导,得 60(x)+120(x)+(a+3x2)0"(x)-6x=0 →o"(a)=0 再对上式求导,得 60(x)+(12+6x)“(x)+(a+3x2)q"(x)-6=0 →q"(ya)=≠0
故所给迭代格式为二阶收敛。 （2） 2 1 8 ( ) ( ) 3 3 ax x x a x = + + （*2） 1 8 ( ) ( ) 3 3 a a a a a a a = + = + ， a 是 x x =( ) 的根。 我们将（*2）式进行变形，得 2 3 ( 3 ) ( ) 3 0 a x x ax x + − − = 方程两边对 x 进行求导，得 2 2 6 ( ) ( 3 ) '( ) 3 3 0 x x a x x x a + + − − = '( ) 0 a = 对上式求导，得 2 6 ( ) 12 '( ) ( 3 ) ''( ) 6 0 x x a x x x + + + − = ''( ) 0 a = 再对上式求导，得 2 2 6 '( ) (12 6 ) ''( ) ( 3 ) '''( ) 6 0 x x x a x x + + + + − = 3 '''( ) 0 2 a a =
故所给迭代格式为三阶收敛。 8.设x0充分接近方程x"-a=0的某个根x,给 定迭代函数xn+1=(xn),其中 P(x)=x (m-1)x+(m+1)a (m≥2) (m+1)x"+(m-1)a 试证{xn}至少有三阶收敛速度。 证明:因为初值充分接近根x,所以我们可以用定 理3来证明。 ∴x是方程x"-a=0的根,∴(x)=a。并且 P(x)=x (m-1)(x)"+(m+1)a (m+1)(x)"+(m-1)a 我们将(1)式进行变形,得 (m+1)x"+(m-1)a|o(x)-(m-1)xm+1 (m+1)ax=0 对上式求一阶导数 m(m+1)xmo(x)+(m+1)xm+(m-1alo'(x) (m+1)m-1)x"-a(m+1)=0 解得:2mq(x")=0
故所给迭代格式为三阶收敛。 8．设 0 x 充分接近方程 0 m x a − = 的某个根 * x ，给 定迭代函数 1 ( ) n n x x + = ，其中 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) m m m x m a x x m x m a − + + = + + − ( 2) m （1） 试证 { }n x 至少有三阶收敛速度。 证明：因为初值充分接近根 * x ，所以我们可以用定 理 3 来证明。 * x 是方程 0 m x a − = 的根， * ( )m = x a 。并且 * * * * * ( 1)( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) ( 1) m m m x m a x x x m x m a − + + = = + + − 我们将（1）式进行变形，得 1 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 0 m m m x m a x m x m ax + + + − − − − + = 对上式求一阶导数 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) '( ) ( 1)( 1) ( 1) 0 m m m m m x x m x m a x m m x a m − + + + + − − + − − + = 解得： 2 '( ) 0 ma x =
则有(x)=0。对上式再求导数 m(m+1)(m-1)xgp(x)+2m(m+1)x"g(x) +[(m+1)x+(m-10V(x)-(m+(m-)mx2=0 解得:2m"(x")=0则有"(x)=0。 故所给迭代格式至少三阶收敛。 k 10.设a>0,应用牛顿迭代法分别求x a=0与 小=0之根,从而导出{a的两种迭代格式,并 √75,取x=4,E=10 解(1)f(x)=xk-a=0 其牛顿迭代格式为: (k-1)xn+ C k-1 k k (2)f(x)=1 0 其牛顿迭代格式为:
则有 * '( ) 0 x = 。 对上式再求导数 2 1 1 ( 1)( 1) ( ) 2 ( 1) '( ) ( 1) ( 1) ''( ) ( 1)( 1) 0 m m m m m m m x x m m x x m x m a x m m mx − − − + − + + + + + − − + − = 解得： 2 ''( ) 0 ma x = 则有 * ''( ) 0 x = 。 故所给迭代格式至少三阶收敛。 10．设 a 0 ，应用牛顿迭代法分别求 0 k x a − = 与 1 0 k a x − = 之根，从而导出 k a 的两种迭代格式，并 求 3 75 ，取 4 x0 = ， 6 10− = 。 解 （1） ( ) 0 k f x x a = − = 其牛顿迭代格式为： 1 1 1 1 ( 1) k n n n n k k n n x a a x x k x kx x k + − − − = − = − + 。 （2） ( ) 1 0 k a f x x = − = 其牛顿迭代格式为：
k k+1 a/x n+1 k+1 (1+) ak/x k ak 在上述两种迭代格式中分别取a=75,k=3, x=4,并且要求E=10,由此求得375的近似 值(421716421)。 习题三 2.用列主元素法解下列方程组 4x1+2x+X2=7 (1) 2x1-5x2,+2x3=-1 x1+2x+6x3=9 5x1+x 2 6 (2){x1+5x2-2x3 2x2+4x2=3 解(1)考查方程的增广矩阵 421|7 42 2-52-1→063/29/2 1269 03/223/429/4
1 1 1 1 / 1 (1 ) / k k n n n n n k n a x x x x x ak x k ak + + + − = − = + − 在上述两种迭代格式中分别取 a = 75 ， k = 3 ， 0 x = 4 ，并且要求 6 10− = ，由此求得 3 75 的近似 值（4.21716421）。 习题三 2．用列主元素法解下列方程组 （1） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 7 2 5 2 1 2 6 9 x x x x x x x x x + + = − + = − + + = （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 6 5 2 1 2 4 3 x x x x x x x x x − + − = − + − = − − − + = 解 （1）考查方程的增广矩阵 4 2 1 7 2 5 2 1 1 2 6 9 − − → 4 2 1 7 0 6 3/ 2 9/ 2 0 3/ 2 23/ 4 29/ 4 − −