§2差商、牛顿插值多项式 在计算过程中,若需要再增加插值节点并求出 新的插值函数,则 Lagrange插值公式所有的基函 数都要重新计算,造成计算量的很大浪费。而以下 介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷,可在原有 插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 差商及其性质: 、相关定义 设给出函数f(x)在点x,x,…, 的函数值,则有: f(x1)-f(x0) 称∫[x0,x1l= 为函数∫(x)在 点的一阶差商。 一阶差商的差商 fxo,x21-fxo,x, ∫x,x1,x2l 称为函数∫(x)在x,X和x2点的二阶差商。 n-1阶差商的差商 055 n-2~n-1 091
8 §2 差商、牛顿插值多项式 在计算过程中，若需要再增加插值节点并求出 新的插值函数，则 Lagrange 插值公式所有的基函 数都要重新计算，造成计算量的很大浪费。而以下 介绍的牛顿插值公式可以克服这一缺陷，可在原有 插值多项式的基础上灵活的增加插值节点。 一、 差商及其性质： 1、相关定义 设给出函数 f (x) 在点 0 x ， 1 x ，… ， n x ，…上 的函数值 ，则有： 称 [ , ] x0 x1 f 1 0 1 0 f x f x ( ) ( ) x x − = − 为函数 f (x) 在 0 x 、 1 x 点的一阶差商。 一阶差商的差商 [ , , ] x0 x1 x2 f 2 1 0 2 0 1 [ , ] [ , ] x x f x x f x x − − = 称为函数 f (x) 在 0 x , 1 x 和 x2 点的二阶差商。 n − 1 阶差商的差商 [ , , , ] x0 x1 xn f 1 0 2 0 2 1 [ , , , ] [ , , , ] − − − − − − = n n n n n n x x f x x x f x x x
称为函数f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶差商。 见插商表4-1 2、性质 性质1:差商∫1x0,x,…,x可表示为函数值的线 性组合,即几xx…,xl=∑af(x), i=0 其中 1/I( j=0,j≠i 该性质表明:差商与节点的排列次序无关,即: fx0,x,;…,xnl=∫x 15~09 f[x1,…,xn,x 这就是差商的对称性。 性质2 f[x1,…,xn]-f[xo2…,xmn1 f[x,x2…,xn]=[x1;…xn212x02xn fx1,…,xn]-f[x12…,xn12x0
9 称为函数 f (x) 在 x x xn , , , 0 1 点的 n 阶差商。 见插商表 4-1 2、性质： 性质 1 ：差商 [ , , , ] x0 x1 xn f 可表示为函数值的线 性组合，即 = = n i n i xi f x x x a f 0 0 1 [ , ,, ] ( ) ， 其中： = = − n j j i ai xi x j 0, 1/ ( ) 。 该性质表明：差商与节点的排列次序无关，即： [ , , , ] x0 x1 xn f ＝ [ , , , ] x1 x0 xn f ＝ … ＝ [ , , , ] x1 x x0 f n 这就是差商的对称性。 性质 2 1 0 1 0 1 0 [ , , ] [ , , ] [ , , , ] n n n n f x x f x x f x x x x x − − = − 0 1 1 1 0 [ , , , ] [ , , , ] n n n f x x x f x x x x = − 1 1 1 0 0 [ , , ] [ , , , ] n n n f x x f x x x x x − − = −
f[x1,…,xn]-f[ 0:1…2x 性质3设∫(x)在所含节点x0,x1;…,x的区间 a,b上有n阶导数,则在该区间内至少有一点 ∈a,b,使得: xn,x,…,xn=f(4)/n 由该性质可知,若∫(x)为n次多项式,则其n阶 差商为一常数。也就是说,当一个函数的n阶差商 接近于常数时,那么用M次多项式近似是恰当的。 例:设f(x)=x+5x3+1,求差商f20,21, 120,2,2,[212:81[22…22] 解:f(1)=7,f(2)=27+5×23+1=169, f(4)=4+5×43+1=16705 f(2)-f(1) =169-7=162 2-1 f(4)-f(1)16705-7 =5566 4-1 3
10 1 0 1 1 0 [ , , ] [ , , , ] n n n f x x f x x x x x − − = − 性质 3 设 f (x) 在所含节点 x x xn , , , 0 1 的区间 [a,b] 上有 n 阶导数，则在该区间内至少有一点 [a,b] ，使得： [ , , , ] ( )/ ! ( ) f x0 x1 x f n n n = 由该性质可知，若 f (x) 为 n 次多项式，则其 n 阶 差商为一常数。也就是说，当一个函数的 n 阶差商 接近于常数时，那么用 n 次多项式近似是恰当的。 例：设 7 3 f x x x ( ) 5 1 = + + ， 求 差商 0 1 f 2 ,2 ， 0 1 2 f 2 ,2 ,2 ， 0 1 7 f 2 ,2 , ,2 和 0 1 7 8 f 2 ,2 , ,2 ,2 。 解: 7 3 f f (1) 7, (2) 2 5 2 1 169 = = + + = , 7 3 f (4) 4 5 4 1 16705 = + + = 0 1 (2) (1) 2 ,2 169 7 162 2 1 f f f − = = − = − 0 2 (4) (1) 16705 7 2 ,2 5566 4 1 3 f f f − − = = = −
f2,25566-162 21.2 =2702 22-21 2 f(2)7 7! (8 2021-.28 0 8! 、牛顿( Newton)插值多项式: 设x是[,b上的一点,则由差商的定义可以 得到一系列的等式: f(x)-f(x0) X-x →∫(x)=f(x0)+f[x,x0l(x-x0) fLx,xo]-f[o, x1I ) X-x →∫[x,X=fx0,x1l+f[x,x0,X1l(x-x1) fx,x0,x1]= 05~15~2 flr.xxilr-X 50, 1=ft ,xl+fx, xo,xi,,x,(x-x) 11
11 0 2 0 1 0 1 2 2 1 2 ,2 2 ,2 5566 162 2 ,2 ,2 2702 2 2 2 f f f − − = = = − (7) 0 1 7 ( ) 7! 2 ,2 , ,2 1 7! 7! f f = = = (8) 0 1 8 ( ) 0 2 ,2 , ,2 0 8! 8! f f = = = 二、牛顿（Newton）插值多项式： 设 x 是 [a,b] 上的一点，则由差商的定义可以 得到一系列的等式： 0 f x x [ , ] 0 0 f x f x ( ) ( ) x x − = − ( ) ( ) [ , ]( ) 0 x x0 x x0 f x = f x + f − 0 0 1 0 1 1 [ , ] [ , ] [ , , ] f x x f x x f x x x x x − = − [ , ] [ , ] [ , , ]( ) 0 0 1 x x0 x1 x x1 f x x = f x x + f − [ , , ] [ , , ] [ , , , ]( ) 0 1 0 1 2 x x0 x1 x2 x x2 f x x x = f x x x + f − … … … … … … … … … [ , , , ] [ , , , ] [ , , , , ]( ) 0 n 1 0 1 n x x0 x1 xn x xn f x x x − = f x x x + f −
依次把后式代入前式,最后可得: f(=f(o)+f[,x(x-xo +[x0,1x21( x-nox-x +…+f[xo,…,xn](x-x)…(x-xn21) +fIx.x 0 X(X-X X-X 记P(x)=f(x0)+[x2x1](x-x) +flxoxix((=x1+ 十 x.=X -d 0 )(1) Rn(x)=fx,x0,…,xnl(x-x0)(x-x1)…(x-xn) (2) f(r)=p (x)+r(x) (3) 由于P(x)是一个次数Sn的多项式,又由 (2),(3)式可知P(x)是满足插值条件的插值多 项式。称(1)式为 Newton插值多项式。 注意: Newton插值多项式与 Lagrange插值多项式 是同一函数f(x)的插值多项式中两种不同的表达 形式,它们实质上是同一个多项式。 要计算 Newton插值多项式P(x),只要计算出
12 依次把后式代入前式，最后可得： ( ) ( ) [ , ]( ) 0 0 1 0 f x f x f x x x x = + − [ , , ]( )( ) 0 1 2 0 1 + − − f x x x x x x x ++ 0 0 1 [ , , ]( ) ( ) n n f x x x x x x − − − 0 0 [ , , , ]( ) ( ) n n + − − f x x x x x x x 记 P (x) n 0 0 1 0 = + − f x f x x x x ( ) [ , ]( ) 0 1 2 0 1 + − − + f x x x x x x x [ , , ]( )( ) + [ , , ]( ) ( ) x0 xn x − x0 x − xn−1 f （ 1 ） ( ) [ , , , ]( )( ) ( ) n x x0 xn x x0 x x1 x xn R x = f − − − （2） 则： f (x) P (x) R (x) = n + n （3） 由于 P (x) n 是一个次数 n 的多项式，又由 （2），（3）式可知 P (x) n 是满足插值条件的插值多 项式。称（1）式为 Newton 插值多项式。 注意：Newton 插值多项式与 Lagrange 插值多项式 是同一函数 f (x) 的插值多项式中两种不同的表达 形式，它们实质上是同一个多项式。 要计算 Newton 插值多项式 P (x) n ，只要计算出
各阶差商就可得到了。 例:已知函数f(x)的函数表如下 0.4 0.550.65 800.90 f(x)0.410750.57815069675088811102652 求四次 Newton插值多项式,并由此求f(0.596的近 似值。 解:计算函数f(x)的差商表如下 x|f(x,)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 0400.41075 0.550.57815.1100 0.650.696751.14400.2800 0800888111.193400.309600.19733 0901.02652|1231540.3301102004003110 故∫(x)的四次 Newton插值多项式为: P4(x) 0.41075+1.11600x-0.4)+0.280000x-0.4)(x-0.55) +0.19733(x-0.4)(x-0.550x-065) +0.031(x-0.4)(x-0.55)x-065)(x-0.80) 则:f(0.596)≈P4(0.596)=0.63195。 例:给定数据表:
13 各阶差商就可得到了。 例：已知函数 f (x) 的函数表如下： i x 0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 ( ) xi f 0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 求四次 Newton 插值多项式，并由此求 f (0.596) 的近 似值。 解：计算函数 f (x) 的差商表如下： 0.90 0.80 0.65 0.55 0.40 i x 1.02652 0.88811 0.69675 0.57815 0.41075 ( ) i f x 1.11600 1.14400 1.19340 1.23154 一阶差商 0.28000 0.30960 0.33011 二阶差商 0.19733 0.20044 三阶差商 0.03110 四阶差商 故 f (x) 的四次 Newton 插值多项式为： ( ) P4 x = + − + − − 0.41075 1.11600( 0.4) 0.28000( 0.4)( 0.55) x x x + − − − 0.19733( 0.4)( 0.55)( 0.65) x x x + − − − − 0.0311( 0.4)( 0.55)( 0.65)( 0.80) x x x x 则： 4 f P (0.596) (0.596) 0.63195 = 。 例：给定数据表：
2 6 7 f(x,)4 求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。 解: f(x)一阶二阶三阶四阶 差商差商差商差商 01234 12467 41011 /35/6 3/53/5|-760 1/212-191/180 由差商表可得4次牛顿插值多项式为: 5 P24(x)=4-3(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1) 60 (x-2)x-4)+(x-1)(x-2)x-4)(x-6) 180 插值余项为: f(x)-P4(x)= f6)(2) 5(x-1(x-2)(x-4x-6) )(x-7) 5∈(min(x,1),max(x,7 、差分、等距节点下的 Newton插值多项式:
14 i x 1 2 4 6 7 ( )i f x 4 1 0 1 1 求 4 次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 解： i i x ( )i f x 一阶 差商 二阶 差商 三阶 差商 四阶 差商 0 1 2 3 4 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 -3 −4 3 −3 5 −1 2 5 6 3 5 1 2 −7 60 −1 9 1 180 由差商表可得 4 次牛顿插值多项式为： 4 5 7 ( ) 4 3( 1) ( 1)( 2) ( 1) 6 60 1 ( 2)( 4) ( 1)( 2)( 4)( 6) 180 P x x x x x x x x x x x = − − + − − − − − − + − − − − 插值余项为： (5) 4 ( ) ( ) ( ) ( 1)( 2)( 4)( 6)( 7) 5! f f x P x x x x x x − = − − − − − (min( ,1),max( ,7)) x x 三、差分、等距节点下的 Newton 插值多项式：
差分 定义:设等距节点x1=x0+ih,i=0,±1,±2, 其中h为常数,称为步长。 设函数f(x)的值f=f(x) 则有: 阶向前差分:M=f1-f, △称为向前差分算子。 一阶向前差分的差分为△f=4+1- 称为二阶向前差分。 阶向后差分:V=f1-f1 ⅴ称为向后差分算子。 阶向后差分的差分为V2f=V-V1 称为二阶向后差分。 般地,函数f(x)的n阶差分可以递推的定义 为 △f=△n1f1-△n1f V"fi=v"fi -v"fi 规定零阶差分为A=V1=f1 由以上定义可以算出差分与函数值之间的关
15 1． 差分 定义：设等距节点 , 0, 1, 2, , xi = x0 + ih i = 其中 h 为常数，称为步长。 设函数 f x( ) 的值 ( ), i i f f x = 则有： 一阶向前差分： i i i 1 f f f = − + ， 称为向前差分算子。 一阶向前差分的差分为 2 i i i 1 f f f = − + 称为二阶向前差分。 一阶向后差分： i i i 1 f f f = − − ， 称为向后差分算子。 一阶向后差分的差分为 2 i i i 1 f f f = − − 称为二阶向后差分。 一般地，函数 f x( ) 的 n 阶差分可以递推的定义 为 1 1 1 1 1 1 n n n i i i n n n i i i f f f f f f − − + − − − = − = − 规定零阶差分为 0 0 i i i = = f f f 由以上定义可以算出差分与函数值之间的关
系。例如 △f1=△(41)=Δ(#1-f)=4-△1=f+2-2f+∫ 差分的基本性质: 性质一:△"f1=V"f 性质二:差商和差分的关系: △ nIh 2.等距节点的牛顿插值公式: Newton向前插值公式(利用向前差分代替差商) 用途:求x附近的函数值。 依次取等距节点 (i=0 0 x:=a+ih 已知∫=∫(x;),修改牛顿插值公式可得: △2fo 0 (x)=f0+0(x-x0)+3,0( x-x0)(x-x1)+ 1!h 2!h △S0(x-x0)(x-x1)(x-x1)…(x-xn1 十 nl h
16 系。例如 i i i i i i i i i f = f = f − f = f − f = f − f + f +1 +1 +2 +1 2 ( ) ( ) 2 差分的基本性质： 性质一： m m i i m f f = + 性质二：差商和差分的关系： 0 1 0 1 , , ! m m m f x x x f m h = 0 1 1 , , ! m m m m f x x x f m h = 2. 等距节点的牛顿插值公式： Newton 向前插值公式（利用向前差分代替差商） 用途：求 0 x 附近的函数值。 依次取等距节点 0 ( 0,1, , ), , i i x i n x a x a ih = = = + ， 已 知 ( ) i xi f = f ， 修 改 牛 顿 插 值 公 式 可 得 ： 2 0 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) ( )( ) 1! 2! n f f P x f x x x x x x h h = + − + − − + ( )( ) ( ) ( ) ! 0 1 1 0 − − − − − + n i n n x x x x x x x x n h f
令x=x0+mh,t∈,n,又有x1=x0+ih x-x1=(t-i)h,i=0,1,2,…,n B(x)=Pn(xo+h)=6+3。N=1)+ 2! △"fo 十 t(t-1)…(t-n+1) 上式称为 Newton向前插值多项式。 同样的可推出 Newton向后插值公式(利用向后 差分代替差商) 用途:求xn附近的函数值。 Vf Pn(x)=pn(n +th)=fn+t+t(t+1)+ 2 +—"t(t+1)…(t+n-1) 1 上式称为 Newton向后插值多项式 若x在函数表的中间,可以考虑用适于表中间的 插值公式,我们这里就不说了。 例:有如下表函数 2 3 4
17 令 , [0, ] x = x0 + th t n ，又有 i 0 x x ih = + x − xi = (t − i)h, i = 0,1,2, ,n 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 1) 1! 2! n n f f P x P x th f t t t = + = + + − + ( 1) ( 1) ! 0 − − + + t t t n n f n 上式称为 Newton 向前插值多项式。 同样的可推出 Newton 向后插值公式（利用向后 差分代替差商） 用途：求 n x 附近的函数值。 2 ( ) ( ) ( 1) 1! 2! n n n n n n f f P x P x th f t t t = + = + + + + ( 1) ( 1) ! n n f t t t n n + + + − 上式称为 Newton 向后插值多项式。 若 x 在函数表的中间，可以考虑用适于表中间的 插值公式，我们这里就不说了。 例：有如下表函数 i x 0 1 2 3 4