第六章数值积分方法 §1引言 问题的提出 ●要求定积分I=f(x)k的值 若能求出被积函数f(x)的一个原函数F(x),则 定积分Ⅰ能根据牛顿-莱布尼茨公式求出,即 I=f(x)k=F(b)-F(a)。 困难:①.F(x)难求(很复杂)或求不出; 如:Jsmx2, b sin t na等 ②.f(x)很复杂或者根本不知其具体解 析表达式;如只给出函数f(x)在一些离散点上 的值。 ●解决方法:将求积分值转化为直接对定积分进 行近似计算(即应用相应的数值积分公式进行 计算) 数值求积的基本思想 由积分的几何意义,如图,所求定积分的值就 是由x=a,x=b,y=0及y=f(x)所围成的曲边梯形 的面积。又由积分中值定理,对于连续函数f(x)在 区间[a,b内至少存在一点 使得
第六章 数值积分方法 §1 引言 一、 问题的提出 ⚫ 要求定积分 = b a I f (x)dx 的值。 若能求出被积函数 f (x) 的一个原函数 F(x) ，则 定积分 I 能根据牛顿-莱布尼茨公式求出，即 I f (x)dx F(b) F(a) b a = = − 。 ⚫ 困难：①. F(x) 难求（很复杂）或求不出； 如： 2 sin b a x dx ， b sin a t dt t 等 ②. f (x) 很复杂或者根本不知其具体解 析表达式；如只给出函数 f x( ) 在一些离散点上 的值。 ⚫ 解决方法：将求积分值转化为直接对定积分进 行近似计算（即应用相应的数值积分公式进行 计算） 二、 数值求积的基本思想 由积分的几何意义，如图，所求定积分的值就 是由 x = a, x = b, y = 0 及 y = f (x) 所围成的曲边梯形 的面积。又由积分中值定理，对于连续函数 f (x) 在 区 间 [a,b] 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 得
I=f(x)d=f(5)(b-a),即积分 值等于底为(b-a),高为f(5)的 矩形面积。 称∫()为曲边梯形的平均高度。 困难:的具体位置不知,不能得到∫(4)的准确值 解决方法:若提供f()的近似求法,则定积分的值 即可求得,便可相应得到一种数值求积方法。 这里提出求f(5)的近似值的几种解法: ①、f() f(b)+f(a 此时得到: I=Lf(drx f(b)+f(a) (b-a) 称之为梯形公式 b+a ②、∫(4)≈∫( ,此时得到: 2 b+a I=f(x)d≈f(")(b-a), 2 称之为(中)矩形公式。 ③、若在[a,b中有n+1个点xk,(k=0,1,…,n),且 已知函数∫(x)在每个已知点上的函数值 f(xk)=yk,(k=0,1,…,n),则:
I f (x)dx f ( )(b a) b a = = − ，即积分 值等于底为 (b − a) ，高为 f ( ) 的 矩形面积。 称 f ( ) 为曲边梯形的平均高度。 困难： 的具体位置不知，不能得到 f ( ) 的准确值 解决方法：若提供 f ( ) 的近似求法， 则定积分的值 即可求得，便可相应得到一种数值求积方法。 这里提出求 f ( ) 的近似值的几种解法： ①、 ( ) ( ) ( ) 2 f b f a f + ， 此时得到： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a f b f a I f x dx b a + = − ， 称之为梯形公式。 ②、 ) 2 ( ) ( b a f f + ， 此时得到： )( ) 2 ( ) ( b a b a I f x dx f b a − + = ， 称之为（中）矩形公式。 ③、若在 [a,b] 中有 n + 1 个点 x , (k 0,1, ,n) k = ，且 已 知 函 数 f (x) 在 每 个 已 知 点 上 的 函 数 值 k k f (x ) = y ， (k = 0,1, ,n) ，则：
b I=f(x)∑4f(xk)=l,(*1) k=0 称为一般的求积公式。 上述中的n+1个点xk,(k=0,1,…,m)称为 求积节点,系数A,(k=0,1,…,n),称为求积系数。 注意:求积系数A只与节点xk的选取有关,当节 点取不同的值的时候,对应不同的求积系数。 截断误差为: =1-1n=f(x)k-∑4f(x) 称为求积余项。 在上述所说的一般求积公式当中有的求积系 数的选取使得公式对更多的∫(x)都能让约等号成 为等号,这正是我们下面所要讨论的代数精度的问 题。上述中若是等号成立,则说公式精确成立;否 则,则称公式不精确成立。 代数精度 定义1:如果某个求积公式对所有次数不超过n的 多项式都精确成立,而至少对一个m+1次的多项 式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精 度
n n k k k b a I = f x dx A f x = I = 0 ( ) ( ) ， （*1）, 称为一般的求积公式。 上述中的 n + 1 个点 x , (k 0,1, ,n) k = 称为 求积节点，系数 A ,(k 0,1, ,n) k = , 称为求积系数。 注意：求积系数 Ak 只与节点 k x 的选取有关，当节 点取不同的值的时候，对应不同的求积系数。 截断误差为： = = − = − n k k k b a Rn I In f x dx A f x 0 ( ) ( ) ， 称为求积余项。 在上述所说的一般求积公式当中有的求积系 数的选取使得公式对更多的 f (x) 都能让约等号成 为等号，这正是我们下面所要讨论的代数精度的问 题。上述中若是等号成立，则说公式精确成立；否 则，则称公式不精确成立。 三、 代数精度 定义 1：如果某个求积公式对所有次数不超过 m 的 多项式都精确成立，而至少对一个 m + 1 次的多项 式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精 度
定理1:一个求积公式具有M次代数精度<求 积公式对x,(k=0,1,…,m)精确成立,而对 x不精确成立 例1:试验证梯形公式和(中)矩形公式具有一次 代数精度。 解:对梯形公式=f(x)≈ f(b)+f(a (b-a) 进行验证,用定理1,梯形公式对 x,(k=0,1,…,m) 精确成立,而对x不精确成立。 则:①当f(x)=x"=1时, 左端=I=f(x)dx=[1dx=b-a 右端 l=1((6)+(0)b-a)=1×2×(6-0)=b-a 说明当f(x)=x"=1时,梯形公式的左端与右端精 确成立。 ②当f(x)=x时
定理 1：一个求积公式具有 m 次代数精度 求 积公式对 x ,(k 0,1, ,m) k = 精 确 成 立 ，而 对 m+1 x 不精确成立。 例 1：试验证梯形公式和（中）矩形公式具有一次 代数精度。 解：对梯形公式 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a f b f a I f x dx b a + = − 进行验证，用定理 1，梯形公式对 x ,(k 0,1, ,m) k = 精确成立，而对 m+1 x 不精确成立。 则：①.当 ( ) 1 0 f x = x = 时， 左端 ( ) 1 b b a a = = = = − I f x dx dx b a 右端 = I = f b + f a b − a = 2 (b − a) = b − a 2 1 ( ( ) ( ))( ) 2 1 说明当 ( ) 1 0 f x = x = 时，梯形公式的左端与右端精 确成立。 ②.当 1 f (x) = x 时
左端=/=f(x)dx=xd=(b2-a2) 右端 (f(b)+f(a)(b-a)=x(b+a)×(b-a)=(b2-a2) 说明当f(x)=x2时,梯形公式的左端与右端精确成 立 ③当f(x)=x时, 左端==。(x)=mx2k=(b3-d2) 右端 (f(b)+f(a)(b-a) 3Y63 +a2)×(b-a)≠ 左端 说明当∫(x)=x时,梯形公式的左端与右端 不精确成立。 由定理1可知,梯形公式具有一次代数精度。 同理,可证得(中)矩形公式也只具有一次代数精 度 例2:给定求积公式
左端 1 2 2 ( ) ( ) 2 b b a a = = = = − I f x dx xdx b a 右端 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ( ) ( ))( ) 2 1 2 2 = f b + f a b − a = b + a b − a = b − a 说明当 1 f (x) = x 时，梯形公式的左端与右端精确成 立。 ③.当 2 f (x) = x 时， 左端 2 3 3 1 ( ) ( ) 3 b b a a = = = = − I f x dx x dx b a 右端 1 1 2 2 ( ( ) ( ))( ) ( ) ( ) 2 2 = + − = + − f b f a b a b a b a 左端 说明当 2 f (x) = x 时，梯形公式的左端与右端 不精确成立。 由定理 1 可知，梯形公式具有一次代数精度。 同理，可证得（中）矩形公式也只具有一次代数精 度。 例 2：给定求积公式
ch 2h f(x)dx x Af(h)+ Bf(0)+cf(h 试决定A,B,C使它的代数精度尽可能的高。 2h 解:当f(x)=1时,左边二x=4h, 右边=A+B+C; 2h 当f(x)=x时,左边 x 2|2h 2h 2 2h 0 右边=A×(-h)+B×0+C×h=(-A+Ch 当f(x)=x时, 左边 2h、2kx=x(-2h-3 3|2h h ch 右边=A(-h)2+B×02+C×h2=(A+Ch2 要使求积公式至少具有2阶代数精度,其充分必要 条件为A,B,C满足如下的方程组 A+b+c= 4h (-A+C)=0 (A+C)h2=16h2/3 解得:A=h,B4 h. C=h 代入求积公式得:
2 2 ( ) ( ) (0) ( ) h h f x dx Af h Bf Cf h − − + + 试决定 A B C , , 使它的代数精度尽可能的高。 解：当 f x( ) 1 = 时，左边 2 2 1 4 h h dx h − = = ， 右边 = + + A B C ； 当 f x x ( ) = 时，左边 2 2 2 2 2 1 0 2 h h h h xdx x − − = = = 右边 = − + + = − + A h B C h A C h ( ) 0 ( ) 当 2 f x x ( ) = 时， 左边 2 2 3 2 3 2 2 1 16 3 3 h h h h x dx x h − − = = = 右边 2 2 2 2 = − + + = + A h B C h A C h ( ) 0 ( ) 要使求积公式至少具有 2 阶代数精度，其充分必要 条件为 A B C , , 满足如下的方程组： 2 2 4 ( ) 0 ( ) 16 3 A B C h A C A C h h + + = − + = + = 解得： 8 4 8 , , 3 3 3 A h B h C h = = − = 代入求积公式得：
2h 8h 4h 8h hf(x)dx f(h)3 f(0)+=f(h) 4h (2f(-h)-f(0)+2f(h)(1) 2h 当f(x)=x3时,(1)的左边 X ax=0. 2h 右边=(2(-h)3-0+2h3)=0,左边等于右边; 3 当f(x)=x时, 64 (1)的左边 2h41,s2h 2h x dx==x-2h= 有边物h (2(-h)4-0+2h+) 16h 左边不等于右边。 所以当求积公式中的求积系数取为 A==h,B=--h,C==h时得到求积公式 (1),其代数精度取到最高,此时代数精度为3 构造一个具有n次代数精度的求积公式: 预先设定求积公式
2 2 8 4 8 ( ) ( ) (0) ( ) 3 3 3 h h h h h f x dx f h f f h − − − + 4 (2 ( ) (0) 2 ( )) 3 h = − − + f h f f h （1） 当 3 f x x ( ) = 时，（1）的左边 2 3 2 0 h h x dx − = = ； 右边 4 3 3 (2( ) 0 2 ) 0 3 h = − − + = h h ，左边等于右边； 当 4 f x x ( ) = 时， （1）的左边 2 4 5 2 5 2 2 1 64 5 5 h h h h x dx x h − − = = = 右边 5 4 16 4 4 (2( ) 0 2 ) 3 3 h h = − − + = h h 左边不等于右边。 所 以 当 求 积 公 式 中 的 求 积 系 数 取 为 8 4 8 , , 3 3 3 A h B h C h = = − = 时 得 到 求 积 公 式 （1），其代数精度取到最高，此时代数精度为 3。 构造一个具有 n 次代数精度的求积公式： 预先设定求积公式
=(x)≈∑4(x)=l,(*1) k=0 具有n次代数精度,选定一组互异的求积节点 k2(=0,12…,n) 令∫(x)=x,x,…,x"得: A+A1+A2+…+An=(b Aoxo+ ax+A2x2++A, n=(b-a) Anx0"+A1x1"+A2x2"+…+A,xn"=-,(b"+-am+) n (米2) 其系数行列式为 Vandemonde行列式: D :-x j<is 由于xk2(=0,12…,n)是互异的求积节点,故 方程的系数行列式的值≠0。由 Crame法则可知, (*2)式有解,且唯一。换句话说,即可以找到n+1
n n k k k b a I = f x dx A f x = I = 0 ( ) ( ) ， （*1） 具有 n 次代数精度，选定一组互异的求积节点 ,( 0,1, , ) k x k n = ， 令 n f (x) x , x , , x = 0 1 得： − + + + + + = + + + + = − + + + + = − + + ( ) 1 1 ( ) 2 1 ) 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 0 1 2 n n n n n n n n n n n b a n A x A x A x A x A x A x A x A x b a A A A A b a （ （*2） 其系数行列式为 Vandemonde 行列式： ( ), 1 1 1 1 0 0 1 2 0 1 2 = = − j i n i j n n n n n n x x x x x x x x x x D 由于 ,( 0,1, , ) k x k n = 是互异的求积节点，故 方程的系数行列式的值 0 。由 Crame 法则可知， （*2）式有解，且唯一。换句话说，即可以找到 n + 1
个求积系数A,(k=0,1,…,n),使得(*1)具有M次 代数精度。 四、插值型求积公式 设给定一组节点a≤x≤x1≤…≤xn≤b,且已 知∫(x)在这些节点上的函数值,则可求得f(x)的 agrange插值多项式:P(x)=∑f(xk从4(x,其中 k=0 k(x)为插值基函数,取f(x)≈P(x),则有: =J(x)dc∫P(x)d=,∑(xM(x)dk ∑xx) k=0 A=J1(x),(k=0,…,n) 称Ak,(k=0,1,…,n)为求积系数 b 则有: f(x)k≈∑Af(x) 定义:这种由求积系数Ak,(k=0,1,…,n)所确定 的求积公式,称为插值型求积公式。其求积余项
个求积系数 A ,(k 0,1, ,n) k = ，使得（*1）具有 n 次 代数精度。 四、 插值型求积公式 设给定一组节点 a x0 x1 xn b ，且已 知 f (x) 在这些节点上的函数值，则可求得 f (x) 的 Lagrange 插值多项式： 0 ( ) ( ) ( ) n n k k k P x f x l x = = ，其中 ( ) k l x 为插值基函数，取 f (x) P (x) n ，则有： I f x dx P x dx f x l k x dx b a n k k b a n b a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = = = [ ( ) ] ( ) 0 k n k b a l k x dx f x = = 令 A l (x)dx,(k 0,1, ,n) b a k = k = ， 称 A ,(k 0,1, ,n) k = 为求积系数。 则有： n n k k k b a I = f x dx A f x = I =0 ( ) ( ) 定义 ：这种由求积系数 A ,(k 0,1, ,n) k = 所确定 的求积公式，称为插值型求积公式。其求积余项
(n+1) R=I-In=(f(x)-Pn(x)dx (5) (n+1) I(-xiXdx 其中占∈[a,b且与x有关。 定理2:具有n+1个节点的数值求积公式 I=(x)≈∑4f(x)=L k=0 是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少 具有n次代数精度 证明:(充分性)设求积公式具有n次代数精度 那么该求积公式对次数不超过n的多项式准确成 立,而l(x),(i=0,1;…,n)都是次数不超过n的多 项式,则有: b 1(x)(x=∑44(x)=41(x)=4 k 故该求积公式是插值型的求积公式。 (必要性)设该求积公式是插值型的,设次数不 超过m的多项式为∫(x),则有: R,=I-I=U(x)-P,(x)dx n+1 (x-x;d=0 (n+1) 说明公式具有至少n次代数精度
x x dx n f R I I f x P x dx b a n i i n b a n n n = + − + = − = − = 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ( ) ( )) 其中 [a,b] 且与 x 有关。 定理 2：具有 n + 1 个节点的数值求积公式 n n k k k b a I = f x dx A f x = I =0 ( ) ( ) 是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少 具有 n 次代数精度。 证明：（充分性） 设求积公式具有 n 次代数精度， 那么该求积公式对次数不超过 n 的多项式准确成 立，而 ( ), ( 0,1, , ) i l x i n = 都是次数不超过 n 的多 项式，则有： 0 ( ) ( ) ( ) n b i k i k i i i i a k l x dx A l x Al x A = = = = 故该求积公式是插值型的求积公式。 （必要性） 设该求积公式是插值型的，设次数不 超过 n 的多项式为 f (x) ，则有： ( ) 0 ( 1)! ( ) ( ( ) ( )) 0 ( 1) − = + = = − = − = + x x dx n f R I I f x P x dx b a n i i n b a n n n 说明公式具有至少 n 次代数精度
