§2牛顿一柯特斯( Newton cotes)求积公式 公式的导出 设将[ab]n等分,步长为h,求积节点为: xk=a+Mh,(k=0,…,n) 由此构造插值型的求积公式,则其求积系数为 b b X-x Ak=Ik(x)dx ∏ dx (k=0 j=0,≠kk-x 令x=a+h,∵a≤x≤b,∴a≤a+th≤b b 0≤t≤ h x-xi=a+th-a-jh=(t-jh xk-x; =a+kh-a-jh=(k-jh ∴dhx=d(a+th)=ht 则求积系数 T I-Jhdt(k=0,1…,n) j=0,≠k k b-a 又 =0kk-j(k-0)k-1)…(k-(k-1)k-(k+1)…k-m)
§2 牛顿—柯特斯(Newton_Cotes)求积公式 一、公式的导出 设将 [a,b] n 等分，步长为 h ，求积节点为： xk = a + kh ， (k = 0,1, ,n) 由此构造插值型的求积公式，则其求积系数为： 0, ( ) ( 0,1, , ) n b b j k k a a j k k j x x A l x dx dx k n x x = − = = = − 令 x a th = + ， a x b ， + a a th b 0 b a t n h − = ( ) j − = + − − = − x x a th a jh t j h ( ) k j − = + − − = − x x a kh a jh k j h = + = dx d a th hdt ( ) 则求积系数 0 0, ( 0,1, , ) n n k j k t j A hdt k n k j = − = = − 又 b a h n − = 0, 1 1 ( 0)( 1) ( ( 1))( ( 1)) ( ) n j k k j k k k k k k k n = = − − − − − − + −
k!(n-k)! b →Ak x(-1)"h k!×(n-k) 0.≠k k n nxklx(n-k)!Jo ∏I(t-×(b-a) 0.≠k k 令 (-1) n×kx(n-k)lJ0 ∏(-M i=0.≠k (k=0,1,…,n) 则 Ak=(6-a ln=∑4(xk)=(b-a∑Cx)f(xk) k=0 k=0 上述求积公式称为n阶牛顿-柯特斯公式,称 c)为柯特斯系数。 特别地,当n=1时, (-1)1-0 (t-ndt 1×0k(1-0)!00
( 1) !( )! n k k n k − − = − 0 0, ( 1) ( ) ! ( )! n k n n k j k b a A t j dt n k n k − = − − = − − 0 0, ( 1) ( ) ( ) ! ( )! n k n n j k t j dt b a n k n k − = − = − − − ( ) 0 0, ( 1) ( ) ! ( )! n k n n n k j k c t j dt n k n k − = − = − 令 − ( 0,1, , ) k n = 则 ( ) ( ) n A b a c k k = − ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n n k k k k k k I A f x b a c f x = = = = − 上述求积公式称为 n 阶牛顿-柯特斯公式，称 ( ) n k c 为柯特斯系数。 特别地，当 n = 1 时， 1 0 1 1 (1) 0 0 0, 0 ( 1) ( ) 1 0! (1 0)! j c t j dt − = − = − −
1×(t-1)t=-1×(t2-1) 1×1!(1-1) j=0,≠1 故: b n=(b-a)(f(a)+f(b)=(f(a)+f(b)=T 即为梯形公式。 当n=2时 ,(2) 2 2×0k(2-0)!1020 3 t-1)(t-2)t t+21) 4J0 43 2 (t-1ddtq 2×1(2-1)!J0 j=0,≠1
1 2 1 0 0 1 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 2 = − − = − − = t dt t t 1 1 1 1 (1) 1 0 0, 1 1 0 ( 1) ( ) 1 1! (1 1)! 1 2 j c t j dt tdt − = − = − − = = 故： 1 1 ( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 2 2 n b a I b a f a f b f a f b T − = − + = + = 即为梯形公式。 当 n = 2 时， 2 0 2 2 (2) 0 0 0, 0 2 3 2 2 0 0 ( 1) ( ) 2 0! (2 0)! 1 1 1 3 ( 1)( 2) ( 2 ) 4 4 3 2 1 6 j c t j dt t t dt t t t − = − = − − = − − = − + = 2 1 2 2 (2) 1 0 0, 1 ( 1) 4 ( ) 2 1! (2 1)! 6 j c t j dt − = − = − = −
(2) (t-jddt 2×2(2-2)!J0 j=0,≠2 故 atb n=(b-a)(f(a)+f( )+∫(b)) 6 6 b (f(a)+4(0b )+f(b)=S 6 2 即为辛甫生( Simpson)公式 同样的,当n=4时, 4-0 4) 4 4×0!×(4-0)!J0 ∏Ⅰ(t-/)a j=0,≠=0 90 4)_(-1) ∏Ⅰ(t-/)dt 32 4×1×(4-1)!1001 90 (4) (-1)4-2 SoII(t-jxlt=9o 4×2×(4-2)!00 4-3 (4) ∏I(-d 32 4×3×(4-3)!00,x3 90 4 (4) 7 4-4×4.(4-4)!)xx (t-idt 90 故
2 2 2 2 (2) 2 0 0, 2 ( 1) 1 ( ) 2 2! (2 2)! 6 j c t j dt − = − = − = − 故： 1 4 1 ( )( ( ) ( ) ( )) 6 6 2 6 ( ( ) 4 ( ) ( )) 6 2 n a b I b a f a f f b b a a b f a f f b S + = − + + − + = + + = 即为辛甫生（ Simpson ）公式。 同样的，当 n = 4 时， 4 0 4 4 (4) 0 0 0, 0 ( 1) 7 ( ) 4 0! (4 0)! 90 j c t j dt − = − = − = − 4 1 4 4 (4) 1 0 0, 1 ( 1) 32 ( ) 4 1! (4 1)! 90 j c t j dt − = − = − = − 90 12 ( ) 4 2! (4 2)! ( 1) 4 0 4 0, 2 4 2 (4) 2 − = − − = = − c t j dt j 90 32 ( ) 4 3! (4 3)! ( 1) 4 0 4 0, 3 4 3 (4) 3 − = − − = = − c t j dt j 90 7 ( ) 4 4! (4 4)! ( 1) 4 0 4 0, 4 4 4 (4) 4 − = − − = = − c t j dt j 故：
b n=90(7f(x)+32f(x)+12f(x2) +32f(x3)+7f(x4))=C 其中xk=a+hh,hb-a k=(0,12……,4) 称为柯特斯( Cotes)公式 例1、分别用梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式 计算积分=f(x)t,函数f(x)在某些节点上的 值如下图 1.8 2.0 2.2 2.4 f(x)3.1014960103041065 解:(1)、用梯形公式求积分 b-a 2.6-1.8 (f(a)+f(b) (f(1.8)+f(26) 2 2 =5434756 (2)、用辛甫生公式求积分
0 1 2 3 4 (7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 90 32 ( ) 7 ( )) n b a I f x f x f x f x f x C − = + + + + = 其中 , , (0,1, ,4) 4 k b a x a kh h k − = + = = 称为柯特斯（ Cotes ）公式。 例1、 分别用梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式 计算积分 = 2.6 1.8 I f (x)dx ， 函数 f (x) 在某些节点上的 值如下图： x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f x( ) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675 解：（1）、用梯形公式求积分 2.6 1.8 ( ( ) ( )) ( (1.8) (2.6)) 2 2 5.434756 b a T f a f b f f − − = + = + = （2）、用辛甫生公式求积分
b tb S (f(a)+4f(-)+f(b) 6 2.6-1.8 6(/(18)+4f(22)+f(26 5.034205 (3)、用柯特斯公式求积分 C (6 (7f(x)+32f(x1)+12f(x2) 90 +32f(x3)+7f(x4) 2.6-1.8 90(7f(18)+32f(20)+12f(2.2) +32f(24)+7f(26))=503292 、误差分析 定理3:n阶牛顿一柯特斯( Newton cotes)求 积公式的代数精度为: n+1当n为偶数时 n= 当n为奇数时。 例如:梯形公式的代数精度: 辛甫生公式: 柯特斯公式:
( ( ) 4 ( ) ( )) 6 2 2.6 1.8 ( (1.8) 4 (2.2) (2.6)) 6 5.034205 b a a b S f a f f b f f f − + = + + − = + + = （3）、用柯特斯公式求积分 0 1 2 3 4 ( ) (7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 90 32 ( ) 7 ( )) b a C f x f x f x f x f x − = + + + + 2.6 1.8 (7 (1.8) 32 (2.0) 12 (2.2) 90 32 (2.4) 7 (2.6)) 5.03292 f f f f f − = + + + + = 二、误差分析 定理 3： n 阶牛顿—柯特斯(Newton_Cotes)求 积公式的代数精度为： + = 当 为奇数时。 当 为偶数时； n n n n m 1 例如：梯形公式的代数精度： 1 辛甫生公式： 3 柯特斯公式： 5
三、收敛性 1.稳定性 由定理2知,n阶牛顿一柯特斯公式 n=(b-a∑ck0f(xk) k=0 当∫(x)=1时,求积公式精确成立,即 lx=b-a=(b-a)∑cxm),故:∑ (n) k=0 k=0 若f(xk)有误差Ek,现考虑误差对数值求积结果的 影响。记E= max Ek,则 0≤x E=(b-a∑cxf(xk)-(b-a∑cx"(f(xk)+k) ≤(b-a∑|cx 分两种情况来讨论: 1)、当c()>0时,有∑c"|=1,故: k=0 Es(b-ae2Ick1=(b-ae
三、收敛性 1. 稳定性 由定理 2 知， n 阶牛顿－柯特斯公式 ( ) 0 ( ) ( ) n n n k k k I b a c f x = = − 当 f (x) = 1 时，求积公式精确成立，即 ( ) 0 1 ( ) n b n k a k dx b a b a c = = − = − ， 故： ( ) 0 1 n n k k c = = 。 若 ( ) k f x 有误差 k ，现考虑误差对数值求积结果的 影响。记 0 max k k x n = ，则 ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 | ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) | ( ) | | n n n n k k k k k k k n n k k E b a c f x b a c f x b a c = = = = − − − + − 分两种情况来讨论： 1）、当 ( ) 0 n k c 时，有 | | 1 0 ( ) = = n k n k c ，故： ( ) | | ( ) 0 ( ) E b a c b a n k n − k = − =
其中b-a为一个定值,当E不大时,其误差不会太 大。则n阶牛顿一柯特斯( Newton-Cote)求积公式是 稳定的。所以有如下结论:考虑到当n≤7时,所 有牛顿一柯特斯系数均为正数,故当E不大时,方 法是稳定的。 2)、当c有正有负时,有可能∑cm很大,导致 误差很大。 所以有如下结论:考虑到当n≥8时,牛顿一柯特 斯系数有正有负,即使E不大时,方法也可能是不 稳定的。也就是说,方法不具有稳定性
其中 b − a 为一个定值，当 不大时，其误差不会太 大。则 n 阶牛顿—柯特斯( Newton − Cotes )求积公式是 稳定的。所以有如下结论：考虑到当 n 7 时，所 有牛顿—柯特斯系数均为正数，故当 不大时，方 法是稳定的。 2）、当 (n) k c 有正有负时，有可能 = n k n k c 0 ( ) | | 很大，导致 误差很大。 所以有如下结论：考虑到当 n 8 时，牛顿—柯特 斯系数有正有负，即使 不大时，方法也可能是不 稳定的。也就是说，方法不具有稳定性