第十五章极值和条件极值 §1.极值和最小二乘法 1.下列函数的极大值点和极小值点: (1)f(x,y)=(x-y+1)2 (2)f(x,y)=3axy-x23-y2(a>0), (3)f(x,y)=xy (a,b>0) (4)f(x,y)=e2(x+y2+2y) (5)f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y)(0≤x,y≤) (6)f(x,y)=(yx2+ 2.已知y=ax2+bx+c,观测得一组数据(x1,y,i=1,2…n,利用最小二乘法,求系数 a,b,c所满足的三元一次方程组 3.已知平面上有n个点的坐标分别是 A(x1,y),A2(x2,y2),…,A(xn,y), 试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小 4.求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值: (1)f(x,y)=x2-y2,D={(x,y)x2+y2≤4} (2)f(x,y)=x2-xy+y2,D={(x,y)‖x|+|yk1} (3)f(x,y,)=(ax+by+c)-1+)*),其中a2+b2+c2>0,D=R3 5.求证: (1)f(x,y)=Ax2+2Bxy+(y2+2D+2E+F在R2有最小值,无最大值,其中 A>0.B-<AC (2)f(x,y)=x+-+-在0<x,y<+∞有最小值,无最大值 6.设F(x,y,)有二阶连续偏导数,并且 第1页共3页第 1 页 共 3 页 第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 1． 下列函数的极大值点和极小值点： (1) 2 f x y x y ( , ) ( 1) ; = − + (2) 3 3 f x y axy x y a ( , ) 3 ( 0); = − −  (3) 2 2 2 2 ( , ) 1 ( , 0); x y f x y xy a b a b = − −  (4) 2 2 ( , ) ( 2 ); x f x y e x y y = + + (5) f x y x y x y ( , ) sin cos cos( ) = + + − (0 , ); 2 x y    (6) 2 2 2 f x y x y ( , ) ( 1) . = + − 2． 已知 2 y ax bx c = + + ,观测得一组数据 ( , ), i i x y i=1,2,…,n，利用最小二乘法，求系数 a,b,c 所满足的三元一次方程组. 3． 已知平面上有 n 个点的坐标分别是 1 1 1 2 2 2 A x y A x y ( , ), ( , ), …, ( , ) A x y n n n ， 试求一点，使它与这 n 个点距离的平方和最小. 4． 求下列函数在指定范围 D 内的最大值和最小值： (1) 2 2 2 2 f x y x y D x y x y ( , ) , {( , ) | 4}; = − = +  (2) 2 2 f x y x xy y D x y x y ( , ) , {( , ) || | | | 1}; = − + = +  (3) 2 2 2 ( ) 2 2 2 3 ( , , ) ( ) , 0, x y z f x y z ax by cz e a b c D R − + + = + + + +  = 其中 . 5． 求证： (1) 2 2 f x y Ax Bxy Cy Dx Ey F ( , ) 2 2 2 = + + + + + 在 2 R 有最小值，无最大值，其中 A  0, 2 B AC  ; (2) 1 1 f x y xy ( , ) x y = + + 在 0 ,   + x y 有最小值，无最大值. 6． 设 F x y z ( , , ) 有二阶连续偏导数，并且