习题5.3 Tay lor公式和插值多项式 1.由 Lagrange中值定理知 0<6(x)<1 1+(x)x 证明:lim6(x)=1/2 证由(x) x-In(1+x) 取极限即得到 xIn(1+x) lim g(x)=lim x-In(1+x) x lin In(1+x).ir In(1+x) In(1+x) lim lim (im )1= x→02(1+x)2 2.设f(x+h)=()+f(xh+r"(x2+…+rm(x+mh)",(0<0<1), 且r1(x)≠0,证明:1mb=-1 n+1 证f(x+b)=f(x)+f(x)h+f"(x)h2+…+f((x+Oh)h (x)+r(x)h+1m(x)2+…+1ro(x)h"+-1(m()h+(h), (n+1) 于是 0.(x+b-/(x)21r (x)+o(1) n+1 令h→>0,得到 8.+(x) 1) 再由(m(x)≠0,两边消去r(x),即得到lmb=-1 3.设f(x)=Vx,取结点为x=1、1728、2744,求f(x)的二次插值多项 式P2(x)及其余项的表达式,并计算p(2)(v2=12599210)习 题 5.3 Taylor 公式和插值多项式 1．由 Lagrange 中值定理知 x x x x 1 ( ) ln(1 ) +θ + = ，0 < θ (x) < 1， 证明：lim ( ) 1/ 2 0 = → x x θ 。 证 由 ln(1 ) ln(1 ) ( ) x x x x x + − + θ = ，取极限即得到 2 2 0 0 0 0 ln(1 ) ln(1 ) lim ( ) lim lim lim ln(1 ) ln(1 ) x x x x x x x x x x x x x x θ → → → → x − + − + = ⋅ = ⋅ + + 0 0 0 1 1 1 1 1 lim lim (lim ) 1 2 2 1 (1 1 x x x x x x x → → → − + = ⋅ = ⋅ + + 1 ) 2 = 。 2．设 1 2 ( 1 ) ( ) ( ) '( ) "( ) ( ) 2! ! n n f x h f x f x h f x h f x h h n + = + + +"+ +θ ，(0 < θ < 1)， 且 f (n+1) (x) ≠ 0，证明： 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 证 n n f x h h n f x h f x f x h f x h ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) + = + + +"+ +θ ( ) ( ) ( 1)! 1 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) '( ) 2 ( ) ( +1) +1 +1 + + = + + + + + n n n n n f x h h n f x h n f x f x h f x h " D ， 于是 ( ) (1) 1 ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) + D + = + − ⋅ + f x h n f x h f x n n n θ θ θ 。 令h → 0，得到 ( 1) ( 1) 0 1 lim ( ) ( ) 1 n n h f x f n θ + + → ⋅ = x + ， 再由 f (n+1) ( x) ≠ 0 ，两边消去 ( 1) ( ) n f x + ，即得到 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 3．设 f x( ) = x 3 ，取结点为 ，求 的二次插值多项 式 及其余项的表达式，并计算 （ x = 1、 、 1.728 2.744 f x( ) p x 2 ( ) p2 (2) 2 12599210 3 = . "）。 116