解f()=1,f(1.728)=1.2,(2.744)=14,由 Lagrange插值公式 f(x)≈P2(x) (x-1.728(x-2744) +1.2 (x-1)(x-2.744) +14 (x-1)(x-1.728) (1-1.728)(1-2.744) (1.728-1)(1.728-2.744)(2.744-1)(2.744-1.728) 0.7876(x-1.728)(x-2.744)-1.6224(x-1)(x-2.744)+0.7901(x-1)(x-1.728) =-004465x2+0.3965x+0.6481。 f()=0x÷,余项()=-5(-1x-18x-214) P2(2)≈1.2626。 4.设f(x)=2,取结点为x=-1、0、1,求f(x)的二次插值多项式P2(x) 及其余项的表达式,并计算P(3/。请与上题的计算结果相比较并分 析产生差异的原因 解f(-1)=0.5,f(0)=1,f()=2,由 Lagrange插值公式 f(x)≈P2(x) =05.(x-0(x-1)1,(x+1)(x-1),(x+1)(x-0) (-1-0)(-1-1)(0+1)(0-1)(1+1)(1-0) =0.25x(x-1)-(x-1)(x+1)+(x+1)x 0.25x2+0.75x+1。 f(x)=1n2,余项r(x)=2(x+)x(x-1 6 P2()≈1.2778。 与上题相比,本题误差较大的原因是2不在所取的三点 x=-1、0、1之间,而上题2在所取的三点x=1、1728、2744之间,因 而误差较小 5.设f(x)在若干个测量点处的函数值如下 14|1.72.3|31 117解 f f (1) = = 1, (1.728) 1.2, f (2.744) =1.4，由 Lagrange 插值公式 2 ( ) ( ) ( 1.728)( 2.744) ( 1)( 2.744) ( 1)( 1.728) 1 1.2 1.4 (1 1.728)(1 2.744) (1.728 1)(1.728 2.744) (2.744 1)(2.744 1.728) 0.7876( 1.728)( 2.744) 1.6224( 1)( 2.744) 0.7901( 1)( 1.728) f x p x x x x x x x x x x x x x ≈ − − − − − − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − − − − ≈ − − − − − + − − = − 2 0.04465x +0.3965x+0.6481。 8 3 10 ( ) 27 f x x − ′′′ = , 余项 2 8 3 5 ( ) ( 1)( 1.728)( 2.744) 81 r x x x x ξ = − − − 。 2 p (2) ≈1.2626。 4．设 f x( ) = 2x ，取结点为 x = −1 0 、 、1，求 f (x)的二次插值多项式 p x 2 ( ) 及其余项的表达式，并计算 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 p2 。请与上题的计算结果相比较并分 析产生差异的原因。 解 f f ( 1− =) 0.5, (0) =1, f (1) = 2 ，由 Lagrange 插值公式 2 2 ( ) ( ) ( 0)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 0) 0.5 1 2 ( 1 0)( 1 1) (0 1)(0 1) (1 1)(1 0) 0.25 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 0.25 +0.75 +1 f x p x x x x x x x x x x x x x x x ≈ − − + − + − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − − − − + − + − = − − − + + + = 。 3 ( ) ln 2 2x f x ′′′ = ⋅ , 余项 3 ln 2 ( ) 2 ( 1) ( 1) 6 nr x x x x ξ = + − 。 2 1 ( ) 1.2778 3 p ≈ 。 与上题相比，本题误差较大的原因是 2 不在所取的三点 之间，而上题 2 在所取的三点 之间，因 而误差较小。 x = −1 0 、 、1 x = 1、 、 1.728 2.744 5．设 f (x)在若干个测量点处的函数值如下： x 1.4 1.7 2.3 3.1 117