0)|65384 试求f(28)的近似值。 解由 Lagrange插值公式 f(x)≈p3(x) (x-1.7)(x-2.3)(x-3.1) (x-1.4)(x-2.3)x-3.1) (14-1.7)14-2.3)(1.4-3.1)(1.7-141.7-23)(1.7-3.1) (x-1.4)(x-1.7)(x-3.1) +36.(x-14)x-1.7)(x-23) (23-14)(2.3-1.7)(23-3.1)(3.1-14)3.1-1.7(31-2.3) f(2.8)≈P3(28)≈36647。 6.若h是小量,问如何选取常数a、b、c,才能使得 (x+h)+b(x)+c/(x-h)与f"(x)近似的阶最高? 解刂(x+h)+b(x)+(x-h) =d(x)+f(x)h+1r(x)2]+b(x)+c(x)-f(x)h+"xh2]+o(H2) (a+b+cf(x)+(a-cf'(xh+(a+c)f"(x)h+o(h), b+C=0 得到方程组{a-c=0,解之得到a=c=1.b= 7.将插值条件取为n+1个结点上的函数值和一阶导数值,即 pn(x)满足 P,(x)=f(x) i=0,1,2,…,n p(x2)=f'(x) 的插值多项式称为 Hermite插值多项式,在微分方程数值求解等研究 领域中具有重要作用。它可以取为 p2(x)=∑[xk(x)+(x)(x)] 这里,{qg(x)q"(x)是满足条件f (x) 65 58 44 36 试求 f ( . 2 8)的近似值。 解 由 Lagrange 插值公式 3 ( ) ( ) ( 1.7)( 2.3)( 3.1) ( 1.4)( 2.3)( 3.1) 65 58 (1.4 1.7)(1.4 2.3)(1.4 3.1) (1.7 1.4)(1.7 2.3)(1.7 3.1) ( 1.4)( 1.7)( 3.1) ( 1.4)( 1.7)( 2.3) 44 3.6 (2.3 1.4)(2.3 1.7)(2.3 3.1) (3.1 1.4 f x p x x x x x x x x x x x x x ≈ − − − − − − = ⋅ + ⋅ − − − − − − − − − − − − + ⋅ + ⋅ − − − − , )(3.1− − 1.7)(3.1 2.3) 3 f p (2.8) ≈ (2.8) ≈ 36.647。 ) 6．若h是小量，问如何选取常数a、 、b c，才能使得 af ( ) x + + h bf (x) + cf (x − h 与 f ′′(x)近似的阶最高？ 解 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 [ ( ) '( ) ''( ) ] ( ) [ ( ) '( ) ''( ) ] ( ) 2 2 1 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ''( ) ( ) 2 af x h bf x cf x h a f x f x h f x h bf x c f x f x h f x h o h a b c f x a c f x h a c f x h o h + + + − = + + + + − + + = + + + − + + + ， 2 得到方程组 0 0 2 abc a c a c ⎧ + + = ⎪ ⎨ − = ⎪ ⎩ + = ，解之得到a c = =1,b = −2。 n 7．将插值条件取为n + 1个结点上的函数值和一阶导数值，即 p (x)满足 ， p x f x p x f x n i i n i i ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ = ′ ⎧ ⎨ ⎩ i n = 0,1, 2,", 的插值多项式称为 Hermite 插值多项式，在微分方程数值求解等研究 领域中具有重要作用。它可以取为 (0) (1) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n k k k k k p x f x q x f x q = = + ⎡ ′ x ⎤ ∑⎣ ⎦, 这里，{ ( q x k k (0) ),q(1) (x)} n k=0是满足条件 118