可以证明:在动量表象,有 (x)=∫4q(p。以p1D, (p)=∫4q(p,)pop (o)=dpp(p,tO(h3, p)p(p,d) 8例题 例1:在坐标表象证明,p为厄米算符。 x,=xS(x-x r'x/= xd(x-x=xd(x-x=x Px=-i。(x-x)=项、了 f(x-x), ih,(x-x)==,6(x2-x)=i,(x-x)=历、0 (x-x) 6(x-x)=p 故X和p均为厄米算符 例2:力学量在自身表象的矩阵形式 力学量F 在O表象:O|n)=On|n),F的矩阵元Fm=(m|F|m) 在F表象:Fn)=Fm,Fm=(mn),说明力学量算符在自身表象为对角方阵 例3: Schrodinger方程 般形式:请)=Hy) 进入坐标表象: iv(x:1)=|2+(x) h2 a2 +v(x)y(x,1) 2m dx 正是我们熟悉的形式。可以证明：在动量表象，有 * (, x dp p t)i ( p,t) p ϕ ϕ ∂ = ∂ ∫ = ， * (, p d = pϕ p t) pϕ( p, ) ∫ t ， * ˆ O dp ( , p t)O(i , p) ( , p ) p ϕ ϕ ∂ = ∂ ∫ = t 8.例题 例 1：在坐标表象证明 xˆ ， pˆ 为厄米算符。 ' ' ( ') xx x = x x δ − x ， ' ' ( ) = ( ( ) ' ' ) ( ' ) ' ( ') xx x x xx x x xδ δ x x x x x x δ x x + ∗ ∗ = − = − = − = x ( ) ' ( ') ( ' xx p i x x i x ') x x x δ δ ∂ ∂ = − − = − − ∂ ∂ − = = x ， ' ' ( ) ' ( ' ) ( ' ) ( ') ( ') ' ' ' ( ') xx x x xx p p i x x i x x i x x i x x p x x x x x δ δ δ δ ∗ + ∗ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⎜ ⎟ − − = − = − = − − = ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ − = = = = 故 xˆ 和 pˆ 均为厄米算符。 例 2：力学量在自身表象的矩阵形式 力学量 F 在O表象： ˆO n On = n ， F 的矩阵元 ˆ F m mn ≡ F n 在 F 表象： ˆ F n Fn = n ， F F mn = n m n ，说明力学量算符在自身表象为对角方阵。 例 3：Schrödinger 方程 一般形式： ˆ i H t ψ ψ ∂ = ∂ = ， 进入坐标表象： ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ' ' ' ' ' ', ' , t ' i x x H dx x H x x dx x x H x i x H x i x x x ψ ψ ψ δ ψ ψ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = − ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ ∫ = = = = ∂ ∂ = 即 ( ) ( 2 2 2 2 , ( ) V( ) 2 2 x x p i x p i x t V x x x t m m x ψ ψ → ∂ →− ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = ⎜− + ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = = = ,t) ， 正是我们熟悉的形式。 3