例4:已知在坐标表象的态|W)=e"(氢原子基态),求动量的平均值 na 由于(v)不是平面波,动量无确定值,取动量为p的几率是pv), 9)=(p)))a1e=-em=(2a) (2zh)2 丌(anp2+h2) ∫dNpv)=1, (p)=∫ apPly)i 例5:在坐标表象与动量表象分别求解自由粒子的能量本征方程。 p2 2m Hv=Ev) 在坐标表象: 2mW(x)=Ey(x),如(x)= 1-e2",其中动量p=、 在动量表象 P-p(P)Ep(P),(p2-2mEo(P)=0, P(P)=8(p-2mE), p=2mE 可见,本征矢依赖于表象,本征值不依赖于表象。 例6:粒子势阱V(x)=Fxx>’下为常数 坐标表象的能量本征方程 h2 d2 2m dx +Ex(x)=Ey() (x)=0 这是二阶常微分方程,难于求解。 动量表象中 P+inF d p(p)=Ep(p) 阶常微分方程,其解为p(p)=Aem例 4：已知在坐标表象的态 0 / 3 0 1 r a r a ψ π − = G e （氢原子基态），求动量的平均值。 由于 r ψ G 不是平面波，动量无确定值，取动量为 p G 的几率是 2 p ψ G ， * 3 3 p d ψ ψ = = r p r r d r r p r ψ ∫ ∫ G G G G G G G G G ( ) ( ) 0 3/ 2 3 / 0 3/ 2 2 2 3 0 0 1 1 2 2 ( ) i p r r a a d r e e π π a π a p − − = = + ∫ G G i = G = = = = 2 2 3 d 1 p p ψ = ∫ G G ∵ ， 2 3 ∴ = p p d p ψ ∫ G G 例 5：在坐标表象与动量表象分别求解自由粒子的能量本征方程。 2 ˆ ˆ 2 p H m = ， H E ˆ ψ ψ = 在坐标表象： 2 2 2 2 d x E x m dx ψ ψ = - ( )= ( )， 1 2 i px ψ x e π = = ( )= ，其中动量 p= 2mE ； 在动量表象： ( ) ( ) 2 2 p p E p m ϕ = ϕ ，( ) p m 2 - = 2 0 E ϕ ( ) p ，ϕ δ ( ) p = ( p − 2mE) ， p m = 2 E 可见，本征矢依赖于表象，本征值不依赖于表象。 例 6：粒子势阱 0 ( ) >0 x V x Fx x ⎧ ∞ = ⎨ ⎩ < ，F 为常数。 坐标表象的能量本征方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 >0 2 >0 d Fx x E x x m dx x x ψ ψ ψ ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ + = ⎨⎝ ⎠ ⎪ ⎩ = - =0 这是二阶常微分方程，难于求解。 动量表象中 ( ) ( ) 2 2 p d i F p E p m dp ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = ⎝ ⎠ = ， 一阶常微分方程，其解为 ( ) 3 6 i p Ep F m ϕ p Ae ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = = ， 4