记A=e- sin tdt,则 A int de e-x+1-A. 因此A=(1+e-), (1+e)=(1+e) 评注】本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积 分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、 换元积分与分步积分等多个基础知识点 六、(本题满分9分) 设a>1,f(t)=a2-at在(-∞,+∞)内的驻点为(a)问a为何值时,t(a)最小?并求 出最小值 【分析】先由ft)的导数为零确定驻点ta),它是关于a的函数,再把此函数对a求导 然后令此导数为零,得到可能极值点,进一步判定此极值为最小值即可 【详解】由f()=aha-a=0,得唯一驻点 t(a)=1 hnhn a In In a 考察函数(a)=1-ha在a>1时的最小值令 In In a 1-In In a (n a) 得唯一驻点 a=e 当a>e时,t(a)>0:当a<e时,t(a)<0,因此t(e")=1--为极小值,从而8 I e e tdt t sin 0 − =    . 记 A e tdt t sin 0 − =  ，则 t t A e de − −  = − int 0  = [ sin cos ] 0 0 − − − −   e t e tdt t t =  − −  0 cos t tde = [ cos sin ] 0 0 e t e tdt t t  − − − +   = e +1− A. − 因此 (1 ) 2 1 − A = + e ， (1 ). 2 (1 ) 2      e e e I = + = + − 【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积 分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、 换元积分与分步积分等多个基础知识点. 六、（本题满分 9 分） 设 a>1， f t a at t ( ) = − 在 (−,+) 内的驻点为 t(a). 问 a 为何值时，t(a)最小？并求 出最小值. 【分析】 先由 f(t)的导数为零确定驻点 t(a)，它是关于 a 的函数，再把此函数对 a 求导， 然后令此导数为零，得到可能极值点，进一步判定此极值为最小值即可. 【详解】 由 f (t) = a ln a − a = 0 t ，得唯一驻点 . ln ln ln ( ) 1 a a t a = − 考察函数 a a t a ln ln ln ( ) = 1− 在 a>1 时的最小值. 令 0 (ln ) 1 ln ln (ln ) ln ln 1 1 ( ) 2 2 = − = − −  = − a a a a a a a t a ， 得唯一驻点 . e a = e 当 e a  e 时， t(a)  0 ；当 e a  e 时， t(a)  0 ，因此 e t e e 1 ( ) = 1− 为极小值，从而